Capitolo 4 : Modello a Singolo Strato di Acqua Bassa della Divisione del Vortice: L’Approssimazione del Vortice di Kida

4.1 Introduzione

4.1 Introduzione

I riscaldamenti stratosferici improvvisi (SSW) invernali della stratosfera polare sono caratterizzati da due tipi principali di disgregazione del vortice polare. Il primo tipo, gli SSW con spostamento del vortice, si manifesta quando il vortice polare si muove lontano dal polo, inclinandosi verso ovest con l’aumentare dell’altitudine (vedi Manney et al. (1999) per esempi nell’emisfero nord). Questi eventi sono noti come SSW di tipo onda-1, dato che il vortice polare mostra una crescita delle onde zonali di numero 1 lungo il suo bordo. Il secondo tipo, gli SSW con divisione del vortice, avviene quando il vortice polare si divide in due vortici quasi cilindrici di dimensioni simili (vedi Andrews et al. (1985) e Manney et al. (1994) per esempi nell’emisfero nord; per la divisione del vortice nell’emisfero sud nel settembre 2002 si veda J. Atmos. Sci. Special Issue, vol 62). Questi sono comunemente noti come SSW di tipo onda-2, poiché la disgregazione del vortice è legata alla crescita di onde planetarie zonali di numero 2 lungo il bordo del vortice. È utile considerare questi due tipi di SSW come fenomeni distinti ma correlati dal punto di vista della dinamica dei vortici (Charlton e Polvani 2007; Matthewman et al. 2009).

In sistemi non lineari, le interazioni non lineari possono correggere la frequenza della modalità libera eccitata. Se la forzatura inizia vicino alla risonanza lineare, il sistema può diventare più fortemente risonante man mano che le ampiezze delle onde eccitate aumentano e le correzioni di frequenza non lineari diventano significative. Questo fenomeno è noto come risonanza “auto-sintonizzante” (vedi Plumb 1981). Se presente, la risonanza auto-sintonizzante massimizza l’ampiezza delle onde eccitate nel sistema quando la forzatura inizialmente non è alla risonanza lineare.

Plumb (1981) applicò il concetto di risonanza auto-sintonizzante a un modello idealizzato della stratosfera extratropicale su piano β. Analizzando l’interazione di onde debolmente non lineari libere con una forzatura topografica non stazionaria, fu derivata una relazione che determinava quanto lontano dalla risonanza lineare il sistema doveva essere affinché le correzioni non lineari alla frequenza dell’onda libera auto-sintonizzassero il sistema verso la risonanza.

In questo capitolo, utilizzeremo un modello di vortice bidimensionale pienamente non lineare per esplorare il ruolo della risonanza auto-sintonizzante nel meccanismo sottostante degli SSW. Ci concentreremo sugli SSW con divisione del vortice, poiché il comportamento barotropico indipendente dall’altezza del vortice polare, che caratterizza questi eventi, suggerisce l’utilizzo di un modello concettuale barotropico a singolo strato della stratosfera (vedi Liberato et al. 2007; Matthewman et al. 2009, come mostrato nel capitolo 2).

Si adotta un approccio gerarchico di modelli; la dinamica di vortici ellittici in un flusso di sforzo uniforme nelle equazioni di Euler bidimensionali (Kida 1981) viene utilizzata per guadagnare intuizioni sulla dinamica di vortici forzati topograficamente in un contesto di modello ad acqua bassa pienamente non lineare. Il comportamento nel modello di vortice forzato topograficamente viene poi esaminato dal punto di vista della risonanza auto-sintonizzante. In particolare, le domande che motivano questo e il capitolo successivo sono: Q1. È osservato un comportamento di divisione del vortice, simile a quello degli SSW con divisione del vortice, nel vortice forzato topograficamente nel modello ad acqua bassa? Q2. Nel caso di un vortice circolare forzato topograficamente, l’eccitazione delle onde sul bordo del vortice mostra caratteristiche di una risonanza lineare del vortice con il flusso di fondo? Se sì, quale ruolo gioca la non linearità, dal punto di vista della risonanza auto-sintonizzante, nel portare il vortice in risonanza, o fuori dalla risonanza, con il flusso di fondo? Q3. In quali circostanze, e fino a che punto, il comportamento del vortice nel modello ad acqua bassa pienamente non lineare può essere compreso facendo riferimento al modello del vortice di Kida? È possibile stabilire una correlazione tra i due modelli?

Per rispondere a queste domande, il capitolo procederà come segue: inizieremo introducendo un patch di vortice ellittico in assenza di flusso di fondo, l’ellisse di Kirchhoff, e discuteremo le condizioni che portano all’instabilità di questo vortice. La sezione 4.3 fornirà una revisione approfondita dei risultati di Kida (1981) per un patch di vortice soggetto a campi di velocità di sforzo e rotazione di fondo uniformi. Un vortice circolare forzato topograficamente in un modello ad acqua bassa viene introdotto nella sezione 4.4. La rilevanza del vortice di Kida per il modello forzato topograficamente viene poi discussa, dimostrando che lo sforzo uniforme nel sistema di Kida funge da buona approssimazione alla forzatura topografica nel sistema ad acqua bassa. All’interno della sezione 4.4, viene introdotta una diagnostica di attività ondosa (Dritschel e Saravanan 1994) per quantificare il disturbo al vortice. Nella sezione 4.5, questa diagnostica di attività ondosa viene utilizzata per analizzare l’evoluzione del vortice in esperimenti di modelli numerici pienamente non lineari. Viene anche dimostrata l’utilità della diagnostica di divisione del vortice κ4, introdotta nel capitolo 2, per classificare oggettivamente la divisione del vortice. Infine, la sezione 4.6 fornisce una discussione dei risultati del modello numerico pienamente non lineare in relazione alle domande chiave sopra.

4.2 L’ellisse di Kirchhoff e le sue instabilità

Nello studio della dinamica dei vortici bidimensionali, consideriamo uno scenario in cui la funzione di flusso è influenzata da una macchia di vortice uniforme. Questa macchia possiede una vorticità e un’area specifiche, e analizziamo questa situazione in assenza di altri flussi.

Per semplificare il problema, ridimensioniamo tutte le variabili utilizzando alcuni valori standard. Ciò include il ridimensionamento della posizione, del tempo e della stessa funzione di flusso. Questo ridimensionamento ci porta a considerare una macchia di vortice con una vorticità unitaria.

Ci concentriamo su una macchia di vortice ellittica con una vorticità di uno. Questa macchia ha assi maggiori e minori di certe lunghezze e si trova in modo tale che il suo centro sia all’origine. L’asse maggiore dell’ellisse è ad un angolo specifico rispetto all’asse x. Questo tipo di vortice, noto come vortice di Kirchhoff, ruota a una certa velocità, che dipende dal rapporto tra le lunghezze dell’asse minore e dell’asse maggiore.

La stabilità di tale vortice ellittico, denominato ellisse di Kirchhoff, è stata oggetto di studio. La stabilità dell’ellisse contro piccole perturbazioni è stata esplorata per la prima volta alla fine del XIX secolo e rivisitata in studi più recenti. Per analizzare ciò, trasformiamo in un sistema di coordinate adatto alle forme ellittiche, con una coordinata che agisce come una misura radiale e l’altra come una misura azimutale.

In questo sistema di coordinate, possiamo descrivere sia i confini indisturbati che quelli disturbati dell’ellisse. Il confine disturbato è particolarmente interessante poiché può essere espresso in una forma complessa, e il disturbo stesso può essere rappresentato in un modo specifico che coinvolge un’espansione in serie.

L’analisi della stabilità di questi disturbi mostra che la crescita di certi disturbi dipende dal valore di un parametro specifico, che a sua volta dipende dal rapporto di aspetto dell’ellisse e dalla natura del disturbo. Si scopre che per certi tipi di disturbi, il vortice ellittico è stabile indipendentemente dal rapporto di aspetto. Per altri tipi di disturbi, il vortice mostra una stabilità neutra. Tuttavia, quando il disturbo è di una natura particolare e il rapporto di aspetto rientra in determinati limiti, il vortice diventa instabile.

Questo studio sulla stabilità dell’ellisse di Kirchhoff fornisce preziose intuizioni sul comportamento dei vortici bidimensionali, specialmente in assenza di altri flussi.

Questo importante risultato fu originariamente presentato da Love nel 1893. L’analisi effettuata da Love è stata in seguito modificata da Tang nel 1987 per includere considerazioni sulla stabilità non lineare. Tang scoprì che l’ellisse di Kirchhoff risulta essere stabilmente non lineare quando il suo rapporto di aspetto è compreso tra 1/3 e 1.

Utilizzando un modello numerico avanzato e completamente non lineare, Dritschel nel 1986 ha evidenziato che per rapporti di aspetto minori di 1/6, ben al di sotto della soglia di stabilità di 1/3, si verifica un’instabilità non lineare dell’ellisse. Questa instabilità, associata a disturbi azimutali ellittici di ordine-2 sul bordo del vortice, porta alla divisione del vortice stesso. Per rapporti di aspetto compresi tra 1/6 e 1/5, sebbene i disturbi di ordine-2 siano stabili, quelli di ordine-4 risultano instabili. Questi ultimi sono caratterizzati da un’erosione della vorticità alle estremità dell’asse maggiore dell’ellisse, un fenomeno noto come filamentazione. Infine, per rapporti di aspetto compresi tra 1/5 e meno di 1/3, si è scoperto che i disturbi di ordine-3 sono instabili, come illustrato nella tabella 3 e nella Figura 12 dello studio di Dritschel del 1986.

4.3 Il vortice di Kida

Per capire la dinamica completamente non lineare delle acque poco profonde in un vortice circolare soggetto a forzamenti topografici, è utile studiare prima il comportamento di una classe di vortici ellittici esposti a campi di deformazione e velocità di rotazione uniformi. Nel 1981, Kida ha sviluppato una serie di soluzioni analitiche esatte per l’evoluzione di questi vortici ellittici, che da ora in poi chiameremo “vortice di Kida”.

Nelle correnti reali, ogni vortice è influenzato da altri vortici, spesso molto più grandi. Per esaminare l’effetto di vortici remoti sull’ellisse di Kirchhoff, Kida introdusse un flusso di fondo esterno al sistema di vortici di Kirchhoff. Questo flusso esterno è caratterizzato da non divergenza. In questa formulazione, specifici termini rappresentano un campo di deformazione esterno e altri termini indicano una rotazione del corpo solido della vorticità. La funzione di flusso che soddisfa questo flusso esterno è data da una formula specifica.

Includendo questo contributo di velocità esterna, la vorticità totale nel sistema è descritta in un certo modo. Per analizzare l’evoluzione di un vortice ellittico in questo campo di velocità esterna, Kida ha sviluppato un sistema di equazioni che descrivono il comportamento del vortice in ogni momento. Queste equazioni sono state derivate usando il metodo delle funzioni di Schwarz, come illustrato in Saffman nel 1992, un’alternativa elegante all’approccio diretto utilizzato da Kida nel 1981.

Seguendo Saffman, definiamo ora la funzione di Schwarz in termini di vortice ellittico. La funzione di Schwarz di una curva chiusa che delimita una regione semplicemente connessa è definita come una funzione unica e localmente analitica che corrisponde a un certo valore ovunque sulla curva. Considerando l’interno del vortice ellittico come la regione semplicemente connessa con contorno delimitante, la funzione di Schwarz può essere scritta in una certa maniera.

Il campo di velocità complesso nel dominio può essere espresso in una certa forma. Ora è utile considerare una mappatura conforme di funzione razionale che collega l’interno del vortice nel piano complesso al disco unitario nel piano complesso. Questa mappatura permette di esprimere α e β in termini di parametri dell’ellisse.

La funzione di Schwarz per l’ellisse può essere costruita esplicitamente, fornendo una certa espressione. In combinazione con un’altra formula, ciò dà la velocità indotta dall’ellisse nella regione esterna al vortice.

Procedendo, sfruttiamo il fatto che il confine dell’ellisse funge da superficie materiale nel flusso. Poiché il confine dell’ellisse corrisponde alla curva in un certo piano nel piano complesso, il confine dell’ellisse a un certo valore può essere parametrizzato usando una specifica espressione per dare un’altra formula. Poiché il confine dell’ellisse è una linea di flusso del flusso, la differenza tra una certa derivata e la velocità esterna all’ellisse è parallela a un’altra derivata.

In forma complessa, il campo di deformazione esterno è espresso in un certo modo, dando il campo di velocità totale sul confine dell’ellisse come una certa espressione. Sostituendo ciò in un’altra formula, otteniamo una forma che enfatizza che certe coordinate sono coordinate ortogonali. Per soddisfare questa formula, il rapporto dei coefficienti su ciascun lato deve essere uguale, il che, utilizzando espressioni per calcolare certi valori, porta a un’altra formula.

Uguagliando le parti reali e immaginarie e applicando la conservazione dell’area della macchia, ciò si riduce a due equazioni che descrivono l’evoluzione dei parametri dell’ellisse nel sistema di Kida. Costruendo la funzione di una certa derivata e integrando rispetto a un certo valore, si deriva una relazione, dove s > 0 è una costante di integrazione. La rotazione del vortice può anche essere scritta in termini di una certa espressione.

4.3.1 Regimi comportamentali nel modello del vortice di Kida

Le equazioni vengono ora utilizzate per esaminare in modo approfondito l’evoluzione di una macchia di vortice ellittica. Si osserva che una certa funzione g presenta specifiche proprietà. Questa funzione assume valori particolari a seconda dei differenti limiti del rapporto di aspetto re.

Dato un particolare set di parametri, introduciamo il rapporto di aspetto iniziale r0 come il valore massimo raggiunto da re durante l’evoluzione del vortice. Il comportamento di questa funzione g e le sue implicazioni sull’evoluzione della macchia di vortice sono stati analizzati dettagliatamente nei lavori di Kida e Dritschel per una gamma generale di valori di r0. Per qualsiasi scelta del parametro s, risulta evidente che la funzione g deve soddisfare un determinato criterio.

Pertanto, per tutti i valori dei parametri, l’evoluzione del vortice può essere descritta dalla parte di g che si trova all’interno di questa specifica regione. Di particolare interesse è il caso speciale del vortice di Kida con r0 = 1, ossia un vortice che inizialmente si può considerare circolare. Per comprendere meglio i diversi tipi di evoluzione del vortice, analizziamo più nel dettaglio la funzione g per questa scelta di r0. Risulta che, per soddisfare il criterio menzionato quando re = r0 = 1, il valore di s deve essere 1.

Evoluzione del vortice di Kida

Quando il vortice inizia come un cerchio perfetto (r₀ = 1), definiamo una funzione g₁(r_e, Ωb) = g(r_e, 1, Ωb). La Figura 4.1 mostra g₁(r_e, Ωb) per vari parametri (Ωb, Λ). Man mano che il vortice diventa più ellittico, il valore di re diminuisce, spostandosi verso sinistra sul grafico di g₁(r_e, Ωb). Tuttavia, si sa che il valore assoluto di g₁(r_e, Ωb) è sempre inferiore a Λ, quindi il movimento sul grafico si ferma una volta raggiunto ±Λ. A questo punto, r_e indica il rapporto di aspetto minimo e la variazione di re si arresta. Man mano che il vortice continua a evolvere, il movimento sul grafico di g₁(r_e, Ωb) si inverte, spostandosi ora verso destra fino a quando re torna a 1, dopodiché il processo si ripete. In ogni momento dell’evoluzione, l’intensità e la direzione di rotazione del vortice sono indicate dalla pendenza del grafico di g₁(r_e, Ωb).

Il Pannello A della Figura 4.1 mostra un grafico di g(re, Ωb) che rappresenta stati di vortice che ruotano solo in senso antiorario. In questo regime, la derivata di g₁ rispetto a re è sempre positiva; ciò significa che la direzione di rotazione è sempre antioraria.

Il Pannello B mostra un grafico che rappresenta un punto di confine tra stati di vortice che ruotano in senso antiorario e stati oscillanti, toccando appena la linea a −Λ. Qui, la funzione g₁(r_e, Ωb) ha un punto stazionario e il vortice smette di ruotare. Con un lieve aumento di Λ, come nel Pannello C, il grafico non tocca più la linea a −Λ. In questi grafici, la derivata di g₁ rispetto a r_e assume valori sia positivi che negativi, rappresentando stati di vortice oscillanti. I riquadri scuri nei Pannelli B e C indicano che con un piccolo aumento di Λ, il rapporto di aspetto minimo scende improvvisamente a valori molto più bassi. Questo improvviso cambiamento nel rapporto di aspetto minimo del vortice verrà discusso nella sezione successiva.

Il Pannello D rappresenta grafici per (Ωb, Λ) nel regime esteso di Kida. Qui, g₁(r_e, Ωb) non interseca mai le linee a ±Λ, quindi non c’è inversione nel movimento sul grafico come nei Pannelli A-C. Invece, con il passare del tempo, il rapporto di aspetto minimo continua a diminuire senza mai raggiungere 0 in un tempo finito.

Il confine tra le soluzioni estese e quelle oscillanti è mostrato nel Pannello E, dove il grafico interseca la linea per Λ esattamente quando re = 0. In questo caso, il vortice ellittico alla fine raggiungerà una variazione di re = 0 quando re = 0, ma ci vorrà un tempo infinito per arrivare a questo punto. Infine, il Pannello F mostra un grafico di g₁(r_e, Ωb) per parametri nel regime di rotazione in senso orario. Qui, la derivata di g₁ rispetto a re è negativa per tutta la durata del movimento fino a quando il grafico interseca la linea a Λ, indicando il raggiungimento del rapporto di aspetto minimo.

La Figura 4.1 mostra sei grafici che rappresentano i diversi regimi di comportamento di un vortice di Kida quando il rapporto di aspetto iniziale r_O è uguale a 1. In tutti i grafici, r_e = a/b rappresenta il rapporto di aspetto del vortice, Ωb rappresenta la rotazione del corpo solido di sfondo e Λ rappresenta il campo di deformazione esterno.

• Pannello A: Rappresenta soluzioni di vortici che ruotano anticlockwise (ACW, in senso antiorario). Il parametro (Ωb,Λ) è (-0.168, 0.015). Il grafico mostra che la funzione g₁ aumenta man mano che il rapporto di aspetto diminuisce, indicando una rotazione continua in senso antiorario. La linea solida più scura indica la porzione del grafico in cui il movimento è effettivamente limitato.
• Pannello B: Rappresenta i parametri (Ωb,Λ) che si trovano sul confine del regime tra soluzioni che ruotano anticlockwise e stati oscillanti. Il punto dove il grafico tocca la linea a -Λ (con parametri (-0.168, 0.025)) indica dove il vortice smetterà di ruotare.
• Pannello C: Rappresenta soluzioni oscillanti con (Ωb,Λ) = (-0.168, 0.030). In questo caso, il grafico mostra che la funzione g₁ assume sia valori positivi che negativi mentre il rapporto di aspetto varia, indicando che il vortice oscilla tra diverse forme ellittiche invece di ruotare in un unico senso.
• Pannello D: Rappresenta soluzioni in estensione con (Ωb,Λ) = (-0.091, 0.151). La funzione g₁ non tocca mai le linee a ±Λ, quindi il vortice continua a estendersi senza invertire la direzione di movimento.
• Pannello E: Rappresenta parametri (Ωb,Λ) sul confine del regime tra stati oscillanti ed estendenti. Il grafico interseca la linea per Λ a r_e = 0 esattamente, indicando che il vortice alla fine raggiungerà una variazione di r_e = 0, ma impiegherà un tempo infinito per farlo.
• Pannello F: Rappresenta soluzioni di vortici che ruotano clockwise (CW, in senso orario) con (Ωb,Λ) = (-0.300, 0.035). Qui, la funzione g₁ diminuisce su tutto l’intervallo di movimento, suggerendo una rotazione continua in senso orario.

In tutti i grafici, la linea più scura indica la parte del grafico dove il movimento del vortice è limitato (dove il vortice può esistere in quel regime), e il quadrato scuro indica il valore minimo del rapporto di aspetto che il vortice può raggiungere in quel particolare regime.

La Figura 4.2 rappresenta due pannelli, A e B, che illustrano i regimi del sistema di vortice di Kida e la sua stabilità lineare, rispettivamente.

Pannello A: Mostra i quattro regimi del sistema di Kida con r0 = 1 nello spazio dei parametri (Ωb, Λ), dove Ωb è la rotazione di sfondo e Λ è il parametro di stiramento. Le croci corrispondono ai parametri di coppia (Ωb, Λ) presentati nella Figura 4.1. La linea tratteggiata indica il valore di una rotazione di sfondo Ω0 calcolato secondo una specifica formula. La freccia mostra lo spostamento tra Ω0 e il parametro di sintonizzazione Ωb = -0.07, dove si verifica la massima risposta del vortice negli esperimenti del modello completamente non lineare della sezione 4.5, come misurato dall’attività ondulatoria W(t). La posizione esatta (Ωb, Λ) = (-0.07, 0.11) della massima risposta è indicata dal triangolo.

I regimi sono identificati come segue:

• Rotating clockwise (rotante in senso orario): Indicato dalla zona in basso a sinistra, dove la direzione di rotazione del vortice è in senso orario (φ˙< 0).
• Rotating anticlockwise (rotante in senso antiorario): Indicato dalla zona in alto a destra, dove la direzione di rotazione del vortice è in senso antiorario (φ˙> 0).
• Oscillating (oscillante): Situato al centro tra i due regimi di rotazione, indicando una transizione o un comportamento oscillante del vortice.
• Extending (estendente): Occupa la parte superiore dello spazio dei parametri e non è ben definito da un comportamento rotatorio.

Pannello B: Illustra la stabilità lineare del vortice di Kida nello spazio dei parametri (Ωb, Λ). Le zone non ombreggiate indicano dove il vortice è linearmente stabile, mentre la zona ombreggiata indica dove il vortice è instabile. Si noti che non esiste un’analisi di stabilità lineare nel regime di vortice di Kida estendente, che è evidenziato con ombreggiatura.

In sintesi, queste figure sono utilizzate per mappare la dinamica e la stabilità del vortice di Kida in relazione ai suoi parametri di controllo, fornendo una guida per prevedere il comportamento del vortice in diverse condizioni.

Confini dei regimi nello spazio dei parametri

Stiamo identificando la posizione dei quattro regimi di rotazione in senso antiorario, rotazione in senso orario, oscillazione ed espansione, all’interno dello spazio dei parametri che includono la rotazione di sfondo e il parametro di stiramento. Un esempio di come queste funzioni si comportano sui confini tra i regimi antiorario e oscillante è dato da un grafico che interseca entrambe le linee corrispondenti a valori positivi e negativi del parametro di stiramento. Questo grafico tocca appena la linea inferiore, indicando il confine tra rotazione antioraria e oscillazione. È facile vedere che questo metodo può anche identificare il confine tra rotazione antioraria ed espansione: se la rotazione di sfondo negativa è minore del parametro di stiramento, allora siamo nel regime di espansione; se no, siamo nel regime oscillante.

Un altro esempio mostra i parametri che si trovano sul confine tra i regimi oscillante ed espandente. Questa classe di funzioni interseca la linea corrispondente al valore positivo del parametro di stiramento, e questo succede quando il rapporto di aspetto è zero. Quindi, per una coppia di parametri che si trova su questo confine, il valore assoluto della funzione deve essere minore del parametro di stiramento per tutti i valori del rapporto di aspetto maggiori di zero e la rotazione di sfondo negativa uguale al parametro di stiramento quando il rapporto di aspetto è zero. Il punto che segna il confine tra i regimi antiorario, oscillante ed espandente deve soddisfare entrambe queste condizioni.

Quando la derivata della funzione rispetto al rapporto di aspetto è sempre negativa, le soluzioni oscillanti lasciano il posto a stati di vortice che ruotano esclusivamente in senso orario. Il valore della rotazione di sfondo che identifica questo confine di regime è quello che rende la derivata della funzione uguale a zero quando il rapporto di aspetto è 1. Questo valore di rotazione di sfondo è quindi la posizione del confine di regime tra oscillazione e rotazione oraria per tutti i valori del parametro di stiramento inferiori.

I regimi e i loro confini sono mostrati chiaramente nel Pannello A della Figura 4.2, con i set di parametri corrispondenti ai grafici discussi sopra rappresentati dalle croci. Questo diagramma di regime è simile a quello presentato da Kida, con la scelta di un rapporto di aspetto iniziale uguale a 1 e un parametro s uguale a 1 che permette di definire chiaramente i confini dei regimi.

Sebbene fosse previsto che gli stati di vortice oscillanti potessero esistere all’interno dei regimi oscillanti e di rotazione oraria, almeno per il caso speciale di un rapporto di aspetto iniziale uguale a 1, l’esistenza di un confine di regime verticale che separa gli stati di vortice oscillanti da quelli in rotazione oraria, e l’esistenza di un regime in cui si osservano solo stati di vortice oscillanti, rappresentano una novità di questo studio. Di conseguenza, il diagramma di regime mostrato differisce leggermente da quello di Dritschel, che aveva considerato lo stesso caso speciale, includendo un sottoregime oscillante all’interno del regime di rotazione oraria.

4.3.2 Stabilità del vortice di Kida

Un’analisi di stabilità lineare dei regimi periodici del vortice di Kida, in particolare quelli di rotazione oraria e antioraria e il regime oscillante quando il rapporto di aspetto iniziale è 1, è stata realizzata nel 1990 da Dritschel utilizzando la teoria di Floquet. L’espansione monotonica e non periodica del vortice nel regime di espansione e l’assunzione da parte della teoria di Floquet di un’evoluzione periodica del vortice indicano che un’analisi di stabilità lineare non è appropriata per i flussi in questo regime.

Il Pannello B della Figura 4.2 presenta una sintesi delle regioni di stabilità lineare nello spazio dei parametri, come individuate da Dritschel. Per i regimi periodici di Kida, si è scoperto che il regime di rotazione antioraria è linearmente stabile, mentre il regime di rotazione oraria (che include sia la rotazione oraria che i regimi oscillanti nel Pannello A) è risultato essere linearmente instabile. Sebbene questa analisi non fornisca conclusioni sulla stabilità lineare del regime di espansione, si potrebbe supporre che il confine del regime di rotazione antioraria funga da separazione tra stati del vortice stabili e instabili, con soluzioni stabili situate nel regime di rotazione antioraria e soluzioni instabili nei restanti tre regimi mostrati nel Pannello A della Figura 4.2. Questa ipotesi finale, benché non derivata formalmente per i vortici in espansione, potrebbe offrire spunti sulla stabilità dei vortici in un sistema di acque poco profonde, come illustrato nella sezione 4.5.

4.3.3 La funzione potenziale per il vortice di Kida

Un altro modo per descrivere il comportamento del vortice di Kida è attraverso la trasformazione della teoria di Kida in un oscillatore completamente non lineare. Se si parte dall’ipotesi di un vortice inizialmente circolare, si può mostrare che la variazione del rapporto di aspetto nel tempo è legata al quadrato di una costante di stiramento e al rapporto di aspetto stesso, da cui deriva una funzione potenziale che dipende dalla rotazione di sfondo e dal parametro di stiramento. Questa funzione potenziale deve essere negativa affinché la variazione del rapporto di aspetto nel tempo assuma valori reali. Quando il vortice è perfettamente circolare, il valore della funzione potenziale è negativo e proporzionale al quadrato del parametro di stiramento.

La Figura 4.3 illustra l’ampiezza massima del disturbo raggiunta durante l’evoluzione del vortice di Kida. Si è scelto di utilizzare l’ampiezza del disturbo come indicatore perché consente di confrontare direttamente con le ampiezze dei disturbi causati da perturbazioni ondulatorie su un vortice circolare, che sarà oggetto di discussione nella sezione 4.4.

La Figura 4.3 è un grafico che rappresenta l’ampiezza massima della perturbazione (Amax) in funzione della rotazione di sfondo (Ωb) e del parametro di deformazione di Kida (Λ). Il grafico presenta diverse curve di livello (contorni), che indicano il valore di Amax per specifiche combinazioni dei due parametri.

Le regioni ombreggiate indicano le parti dello spazio dei parametri dove Amax è maggiore di 2. Dentro queste regioni ombreggiate, non ci sono curve di livello disegnate. Questo potrebbe suggerire che, al di sopra di un certo valore di Amax (in questo caso, 2), il comportamento della perturbazione diventa meno prevedibile o meno rilevante per l’analisi in questione.

I parametri rappresentati con delle croci corrispondono a configurazioni specifiche che sono ulteriormente esaminate o presentate in altri pannelli della stessa pubblicazione scientifica, come indicato dalla didascalia (panel A2 e B2 di Fig. 4.4). Questo implica che quei particolari punti sono stati considerati significativi o di particolare interesse per gli autori dello studio.

In termini di interpretazione fisica, senza ulteriori informazioni sul contesto dello studio, si può ipotizzare che questa figura mostra l’influenza della rotazione di sfondo e della deformazione sulla stabilità o sull’ampiezza della perturbazione in un sistema fisico, che potrebbe essere un flusso fluido, un’atmosfera planetaria, o altro. Un Amax maggiore di 2 potrebbe indicare una perturbazione particolarmente forte o un regime di flusso altamente instabile.

La regione dello spazio dei parametri a destra nel grafico è caratterizzata da ampiezze massime del disturbo piuttosto ridotte, con contorni che si concentrano maggiormente in prossimità del confine curvilineo del regime. Al contrario, nella regione dello spazio dei parametri a sinistra del confine del regime, le ampiezze massime del disturbo sono significativamente più elevate, e l’ampiezza massima può superare il valore di 2 per valori relativamente bassi del tasso di stiramento. Inoltre, i contorni dell’ampiezza massima sono molto più stretti in questa regione rispetto alla regione a destra del confine del regime. Il confine tra queste due aree è segnato da una discontinuità nell’ampiezza massima, come si osserva anche nel salto nel rapporto di aspetto minimo tra i pannelli B e C della Figura 4.1. È interessante notare che non è possibile distinguere il confine tra i regimi di rotazione oscillante e oraria osservando il comportamento dell’ampiezza massima.

Dallo studio del comportamento della funzione potenziale emerge naturalmente una previsione sul salto nell’ampiezza massima attraverso il confine del regime. Se l’evoluzione del vortice ellittico è periodica, allora la variazione del rapporto di aspetto nel tempo è nulla all’estremo del rapporto di aspetto, il che equivale a dire che la funzione potenziale è zero. La Figura 4.4 mostra esempi della funzione potenziale di Kida per vari valori della rotazione di sfondo e del parametro di stiramento nei regimi di Kida di rotazione antioraria, oscillante e di espansione infinita. In tutti i pannelli, all’inizio l’aspetto ratio è 1. Man mano che il vortice evolve, si percorre il grafico della funzione potenziale nella regione da 0 a 1 fino a quando non si interseca con l’asse, punto in cui la funzione potenziale è zero. Il valore del rapporto di aspetto di questa intersezione è quindi il rapporto di aspetto minimo del vortice, e l’evoluzione prosegue ripercorrendo il grafico della funzione potenziale di ritorno verso 1. Quando si raggiunge 1, l’evoluzione prosegue invertendo la direzione e tornando verso valori più piccoli, risultando in un movimento periodico. L’unica eccezione si verifica se il rapporto di aspetto minimo è 0, nel qual caso il percorso lungo il grafico della funzione potenziale impiega un tempo infinito per raggiungere 0.

I pannelli A1-A3, che mostrano la funzione potenziale di Kida vicino al confine del regime tra i regimi di rotazione periodica oraria e antioraria, indicano che c’è un salto nel rapporto di aspetto minimo raggiunto dal vortice a seconda del regime in cui si trovano i parametri, e il salto si verifica quando il secondo punto stazionario della funzione potenziale è anche una radice della funzione. Sebbene ciò implichi una transizione nel rapporto di aspetto minimo del vortice, non possiamo trarre alcuna conclusione sulla direzione di rotazione o su un eventuale cambiamento di direzione basandoci solo sulle informazioni presentate.

Una transizione simile nel comportamento è mostrata nei pannelli B1-B3. Questa transizione nel comportamento del vortice, che si verifica quando il secondo punto stazionario della funzione potenziale è anche una radice della funzione, rappresenta un confine del regime tra stati di vortice che ruotano antiorari e stati di vortice che si espandono infinitamente. Ancora una volta, sebbene abbiamo identificato l’evoluzione periodica del vortice come uno stato di vortice che ruota antiorario, queste informazioni non possono essere derivate esclusivamente dai grafici della funzione potenziale mostrati, ma sono utilizzate per chiarire a quale dei confini del regime periodico/espansione ci riferiamo nel sistema di Kida.

Questo studio della funzione potenziale è analogo a quello della funzione g presentato in precedenza in questa sezione, anche se, come è stato detto, la direzione di rotazione del vortice non può essere dedotta facilmente dalla funzione potenziale. Tuttavia, come verrà visto nel capitolo 5, i concetti alla base della derivazione della funzione potenziale di Kida sono importanti per dedurre l’ampiezza massima in un modello di acque poco profonde, e come tale è stata inclusa qui come preludio a quel lavoro.

Modello di vortice influenzato dalla topografia

La sezione 4.4 esplora un modello di vortice che è influenzato dalla topografia, il quale rappresenta un caso più realistico rispetto ai modelli più semplici precedentemente discussi. Si prende in considerazione come la dinamica della stratosfera sia affetta dai limiti fisici, come il raggio di deformazione di Rossby, e come gli effetti della “forzatura” proveniente dalla troposfera non siano perfettamente rappresentabili tramite un flusso di deformazione uniforme, come quello utilizzato nel sistema di vortice di Kida.

L’analisi si concentra sulla dinamica di un’area di vortici in presenza di una forzatura topografica, utilizzando un modello di acqua poco profonda quasi-geostrofico su un piano f, che è stato descritto nel terzo capitolo. In forma dimensionale, questo modello descrive una porzione di vortici ideale che risente dell’influenza di una forzatura topografica.

La forzatura topografica viene introdotta nel sistema attraverso coordinate polari e può essere modificata in termini di ampiezza e di configurazione spaziale. Il sistema è caratterizzato da una serie di funzioni di corrente e vorticità potenziale, comprendendo effetti dovuti al disturbo nella porzione di vortici, alla rotazione del corpo solido di fondo e alla forzatura topografica stessa.

Per semplicità, le equazioni vengono adimensionate seguendo lo stesso processo descritto nella sezione 4.3. Questo sistema adimensionale è definito da cinque parametri che influenzano la risonanza del vortice con la forzatura topografica e regolano l’ampiezza, la struttura in senso azimutale e quella radiale della forzatura topografica, oltre a definire l’inverso del raggio di Rossby adimensionale.

Dopo aver adimensionato le equazioni del sistema, si eliminano i simboli di tilde da tutte le quantità adimensionate per ragioni di chiarezza, e si specifica che tutte le variabili menzionate d’ora in poi sono da intendersi come adimensionali.

4.4.1 Il vortice di Kida come approssimazione della dinamica dei vortici in un modello di acqua poco profonda

Nel contesto dei modelli di acqua poco profonda, quando un parametro specifico (indicato con B) è pari a zero, il comportamento del sistema si riduce a quello di un flusso bidimensionale puro. Questa situazione ci permette di esplorare un collegamento tra la forzatura topografica di tale sistema e la forzatura di deformazione nel sistema bidimensionale.

In particolare, quando questo parametro B è zero, il componente della funzione di corrente che risente della topografia può essere paragonato alla funzione di corrente che si ottiene dalla componente di deformazione nel modello di vortice di Kida. Per poter confrontare i due sistemi, si richiede che la funzione di corrente legata alla forzatura sia la stessa per entrambi i modelli ai margini del vortice.

La comparazione tra i due sistemi mostra che, finché il numero d’onda radiale non assume valori troppo grandi, il modello di vortice di Kida può servire come una buona approssimazione per la forzatura topografica vicino al vortice. Si deduce quindi che un vortice inizialmente circolare nel modello con forzatura topografica dovrebbe evolversi in maniera simile a quello previsto dal vortice di Kida, manifestando stati di rotazione oraria, antioraria o oscillante. Tuttavia, è evidente che non è possibile avere soluzioni di vortici in estensione nel modello con forzatura topografica, dato che il vortice, anche se inizialmente piccolo, si estenderà inevitabilmente fino a raggiungere una regione in cui la struttura della funzione di Bessel diventa importante.

Implicazioni fisiche: La similitudine tra le funzioni di corrente per piccoli valori di λ suggerisce che il comportamento di un vortice sotto l’influenza di una forzatura topografica a grande scala può essere studiato usando il modello di Kida. Tuttavia, per forzature a scala più piccola, il modello di Kida potrebbe non rappresentare fedelmente la dinamica del vortice.

Previsioni di stabilità per il modello di acqua poco profonda

Uno degli scopi principali di questo capitolo è indagare come sia possibile prevedere le instabilità che causano la divisione dei vortici nel modello di acqua poco profonda soggetto a forzatura topografica, basandosi sulle corrispondenti instabilità osservate nel vortice di Kida. È stato osservato che, quando il parametro λ assume valori grandi nel modello di acqua poco profonda con determinate condizioni, la forma del vortice risultante assomiglia a quella del vortice ellittico di Kida. Pertanto, si attende che il modello influenzato dalla forzatura topografica manifesti un comportamento instabile quando i suoi parametri corrispondono a quelli nel modello di Kida, per i quali è nota l’instabilità del vortice ellittico.

In particolare, è stato analizzato che per un ellisse di Kirchhoff con un rapporto d’aspetto molto piccolo, le perturbazioni caratterizzate da un numero d’onda azimutale di tipo ellittico-2 diventano instabili in maniera non lineare, provocando la divisione del vortice ellittico. Di conseguenza, si ipotizza che in presenza di valori di parametri nel modello di acqua poco profonda che corrispondono a quelli di un regime instabile nel modello di Kida, si possa osservare una divisione del vortice. In contrasto, per valori di parametri che rientrano in un regime instabile di Kida, ma con un rapporto d’aspetto dell’ellisse leggermente maggiore, si presume che l’aumento instabile di perturbazioni con un numero d’onda azimutale ellittico-4 porterà a una formazione di filamenti del vortice anziché a una sua divisione.

4.4.2 Eccitazione di disturbi lineari su un vortice circolare

Per capire meglio le previsioni fatte dal modello di Kida, che è non lineare, esaminiamo ora le proprietà di un vortice circolare non influenzato da forze esterne all’interno del modello di acqua poco profonda. Abbiamo sviluppato una relazione di dispersione lineare per onde infinitesimamente piccole che si formano lungo il bordo di un vortice circolare, utilizzando il modello quasi-geostrofico su un piano f. L’analisi qui presentata segue da vicino quella proposta da Swanson nel 2000.

Le perturbazioni che si verificano al bordo del vortice vengono descritte attraverso una modalità normale lineare che assume una forma particolare, caratterizzata da una frequenza che descrive il modo in cui l’onda si muove attorno al bordo del vortice. La funzione di corrente che ne deriva, risultante dal disturbo al confine del vortice, si compone di due parti: una che contribuisce allo stato fondamentale e un’altra che rappresenta il contributo delle perturbazioni infinitesimali. Questa suddivisione permette di descrivere la funzione di corrente dello stato fondamentale attraverso un’equazione specifica, che può essere espressa mediante le funzioni di Bessel modificate di primo e secondo tipo. La velocità dello stato di base risultante è puramente azimutale.

La funzione di corrente associata alle perturbazioni infinitesimali soddisfa un’altra equazione. Seguendo l’approccio di Swanson, la perturbazione è rappresentata tramite una funzione che soddisfa una condizione di salto al bordo del vortice. Inserendo questa funzione nella relativa equazione si ottiene un’equazione differenziale ordinaria per la funzione.

La condizione cinematica, che deve essere rispettata sul bordo del vortice – considerato come una superficie materiale nel flusso – è espressa da un’altra equazione. Qui, la velocità azimutale, dovuta alla rotazione come corpo solido, è inclusa nell’equazione e, linearizzando attorno al raggio unitario, la componente della velocità radiale viene espressa in termini di una funzione proporzionale al disturbo. Questo porta a una relazione di dispersione lineare.

La risonanza di una perturbazione simile a un’onda sul bordo del vortice, all’interno di un sistema soggetto a forzatura topografica, è attesa ogniqualvolta la perturbazione appare stazionaria rispetto alla forzatura. In un sistema con una forzatura fissa, questo equivale a una condizione che permette di determinare il parametro di accordo necessario per questi disturbi stazionari.

Per una data scelta del parametro B, la funzione restituisce un unico valore scalare. Questo valore, per semplicità, sarà indicato semplicemente con un simbolo quando il valore di B è stato chiaramente specificato.

Utilizzando le forme asintotiche delle funzioni di Bessel modificate, si constata che nel limite appropriato, il valore concorda con quello previsto per perturbazioni puramente bidimensionali come osservato in alcuni studi classici. Esaminando la velocità di rotazione di un ellisse di Kida senza deformazione, se l’ellisse è statico, si ottiene una relazione che, per un rapporto d’aspetto vicino all’unità, fornisce un valore approssimativo che corrisponde esattamente al valore atteso quando il numero d’onda azimutale è due.

4.5 Risultati del modello non lineare

4.5.1 Forzatura topografica e condizioni del vortice

La ricerca si concentra sull’evoluzione di un’area circolare di vortici inizialmente non disturbata, soggetta a una forzatura topografica. Questo studio è condotto utilizzando un modello completamente non lineare quasi-geostrofico (QG) su un piano f, come discusso nella sezione precedente.

Grazie alla nondimensionalizzazione introdotta in precedenza, il vortice circolare viene inizializzato con un raggio e una vorticità potenziale interna entrambi unitari. Per garantire che il campo di velocità legato alla forzatura topografica possa essere assimilato a quello del sistema di Kida, per tutte le simulazioni viene impiegato un parametro specifico per la forzatura topografica e un valore nullo per un altro parametro, che corrisponde a una dinamica puramente bidimensionale.

In aggiunta alla forzatura topografica, al flusso viene aggiunta una rotazione del corpo solido con una certa velocità angolare. Questa velocità angolare viene utilizzata come parametro regolabile per studiare l’influenza della crescita risonante dei disturbi lungo il bordo del vortice, portando il vortice in condizioni di risonanza o fuori dalla risonanza con la forzatura topografica. Per gli esperimenti completamente non lineari sono stati selezionati 31 valori diversi per questo parametro di sintonizzazione.

Nella presentazione dei nostri risultati, l’intensità della forzatura topografica è definita tramite un parametro F. I valori di questo parametro di forzatura impiegati negli esperimenti sono divisi in due gruppi: il primo gruppo include esperimenti con valori bassi di F, mentre il secondo gruppo parte da un valore leggermente superiore di F e comprende 12 esperimenti, aumentando a intervalli regolari fino a raggiungere un valore massimo di F.

In tutti gli esperimenti, la dipendenza radiale della forzatura topografica è stata scalata utilizzando un valore specifico di λ. Questo produce il primo massimo nella forzatura topografica a una certa distanza dall’origine, come mostrato in un pannello di una figura precedente. Questa scala è stata selezionata per corrispondere alla forzatura definita ‘a scala emisferica’, come discusso in una pubblicazione del 2005, e per assicurarsi che nella regione del vortice non perturbato la funzione di corrente topografica possa essere approssimata da quella del modello di deformazione di Kida.

4.5 Risultati del modello non lineare

4.5.2 Dettagli del modello e parametri numerici

Per realizzare questi esperimenti si utilizza il modello numerico basato sul metodo di dinamica dei contorni sviluppato da Dritschel nel 1988. Una sintesi di questo algoritmo numerico per la dinamica dei contorni è fornita nel terzo capitolo.

Nel metodo di dinamica dei contorni, il parametro che definisce la risoluzione dei nodi è impostato a 0.025. L’intervallo temporale adottato per le simulazioni è di 0.05, mentre il tempo massimo previsto per l’esperimento è di 40 unità di tempo adimensionali. I dati vengono raccolti a intervalli di 0.25 unità di tempo adimensionali, raggiungendo un totale di 160 punti dati per ogni esperimento. Per il parametro diagnostico κ₄, che serve a identificare la divisione dei vortici, si utilizza una soglia di −0.6: se il valore minimo di κ₄ scende al di sotto di questa soglia, si rileva una separazione del vortice. Per un’analisi approfondita del parametro diagnostico κ₄ si rimanda al capitolo 2.2.4. Nell’interpretazione di questo parametro, valori elevati e positivi sono indice che il vortice è in fase di filamentazione.

4.5.3 Diagnosi dei Momenti del Vortice

Per effettuare un confronto tra il comportamento del vortice di Kida e quello di un modello completamente non lineare, si rivela utile l’impiego delle diagnosi dei momenti del vortice, descritte nella sezione 2.2.4 del capitolo 2. A fini pratici, queste sono riportate di seguito nel contesto di un modello numerico a singolo strato.

In un’area con vorticità interna costante e un salto di vorticità ∆ al confine del vortice, si calcolano i momenti assoluti e relativi della vorticità secondo le formule specificate.

In un modello numerico che adotta l’algoritmo della dinamica dei contorni, questi integrali sono trasformati in integrali lungo il confine dell’area, applicando il teorema di Green. Tali integrali di contorno sono determinati in base alle posizioni dei nodi di vorticità potenziale (PV), che definiscono il confine del vortice nel modello. L’orientamento φe e il rapporto di aspetto re dell’ellisse equivalente associata alla zona del vortice vengono quindi calcolati utilizzando le formule indicate.

4.5.4 Misure delle Perturbazioni dei Vortici di Ampiezza Finita

Nella presentazione dei risultati in questa sezione, una diagnosi primaria impiegata per determinare il comportamento delle perturbazioni ondulate ai bordi del vortice è l’ampiezza del primo armonico, designata in un modo specifico. Per eliminare la dipendenza da un parametro, che è un artefatto dell’analisi lineare, definiamo l’ampiezza totale del primo armonico in un certo modo. Come precedentemente discusso nella sezione 4.3.3, nel modello di vortice di Kida, un’approssimazione dell’ampiezza dell’armonico è data seguendo una formula specifica, dove un certo valore rappresenta il rapporto di aspetto minimo del vortice di Kida.

Nel modello numerico completamente non lineare, la medesima quantità viene derivata dall’impulso angolare del vortice, un invariante del sistema in assenza di forze topografiche. La normalizzazione del tempo per un certo valore di vorticità potenziale interno elimina un fattore da questo impulso. Sottraendo l’impulso del vortice non disturbato, definiamo l’attività ondulatoria (pseudomomento) del vortice secondo una pubblicazione del 1994. Calcolando quindi l’attività ondulatoria del vortice nel modello non lineare, l’ampiezza approssimata del primo armonico della perturbazione ondulatoria viene stimata seguendo una formula specifica.

4.5.5 Risultati dal modello a singolo strato

Classificazione degli esperimenti completamente non lineari: Per valutare le corrispondenze tra il modello di vortice di Kida e il modello forzato topograficamente, abbiamo classificato l’evoluzione dei vortici in ogni esperimento in sei categorie:

1. Rotazione in senso orario: il vortice ruota in senso orario per tutto il tempo.
2. Rotazione in senso antiorario: il vortice ruota in senso antiorario per tutto il tempo.
3. Altamente disturbato: il vortice mostra un’ampiezza massima di disturbo superiore a uno.
4. Altamente disturbato con rotazione in senso orario: il vortice è fortemente disturbato e ruota in senso orario per tutto il tempo.
5. Divisione: il vortice si divide.
6. Oscillante/altro: tutti gli altri comportamenti del vortice.

La Figura 4.6 mostra l’evoluzione dei vortici nel modello forzato topograficamente rispetto ai confini di regime del modello di vortice di Kida. È evidente che il confine di transizione tra i comportamenti rotanti in senso orario e antiorario è accuratamente previsto dal modello di Kida. Di 55 esperimenti situati nel regime di rotazione oraria del modello di Kida, solo 8 non sono classificati come stati di vortice che ruotano in senso orario. Inoltre, nessuno stato di vortice che ruota in senso orario è osservato per parametri al di fuori di questa regione. Di 122 esperimenti classificati come stati di vortice che ruotano in senso antiorario, solo 5 si trovano al di fuori del regime di rotazione antioraria del modello di Kida, con questi 5 esperimenti che si verificano appena a sinistra del confine curvo del regime di Kida. Per 125 esperimenti situati all’interno del regime antiorario di Kida, solo 8 esperimenti completamente non lineari non sono classificati come stati di vortice che ruotano in senso antiorario. Tra il confine verticale (rotazione oraria/oscillante) del regime di Kida e il confine curvo del regime, quasi tutti gli esperimenti sono classificati come stati di vortice oscillante, fortemente disturbato o che si dividono. Il confine netto osservato tra i comportamenti rotanti in senso orario e oscillante rafforza la convinzione che il regime oscillante, una nuova scoperta di questo lavoro, sia un regime distinto nel modello di vortice di Kida. Si vede quindi che c’è un forte collegamento tra il comportamento del vortice nel modello forzato topograficamente e quello previsto dal modello di Kida.

Il Pannello B della Figura 4.7 mostra i contorni dell’ampiezza massima del disturbo per una gamma di valori di parametro nel modello completamente non lineare forzato topograficamente. Per valori bassi del parametro di forzatura, il picco dell’ampiezza massima del disturbo si verifica vicino a un valore specifico come previsto dalla teoria lineare. Tuttavia, con l’aumento del parametro di forzatura, la posizione del picco dell’ampiezza massima del disturbo si sposta verso destra, allontanandosi da quel valore.

La Figura 4.6 rappresenta una classificazione dell’evoluzione dei vortici in un modello forzato topograficamente. Questa figura è un diagramma di dispersione che mostra diversi stati di comportamento del vortice in funzione di due parametri: la rotazione di fondo, Ωb, e il parametro di forzatura, F. Ecco come interpretare la figura:

1. Assi della Figura:
   • L’asse verticale (Forcing parameter, F): rappresenta l’intensità della forzatura esterna applicata al sistema, che potrebbe essere un parametro fisico come l’effetto di una topografia sul movimento del fluido.
   • L’asse orizzontale (Background rotation, Ωb): indica la velocità di rotazione generale del sistema senza la forzatura, ossia la condizione di rotazione naturale o intrinseca del vortice.
2. Simboli e Classificazione:
   • Ogni simbolo (H, S, O, ecc.) rappresenta il comportamento del vortice osservato in un particolare esperimento simulato, classificato secondo i criteri definiti nel testo. Ad esempio, ‘H’ indica uno stato fortemente disturbato, ‘S’ indica uno stato in cui il vortice si è diviso, e ‘O’ indica comportamenti oscillanti o altri comportamenti non classificati nelle altre categorie.
3. Linee Demarcazione:
   • Le linee tratteggiate rappresentano i confini dei regimi previsti dal modello di vortice di Kida, che forniscono una previsione teorica di dove si potrebbero aspettare determinati comportamenti dei vortici.
   • La linea punteggiata segna un valore specifico di Ωb (-0.25), che potrebbe essere importante nella teoria o come parametro di riferimento.
   • La linea spessa e continua mostra la posizione del massimo picco di Amax come previsto da un modello debolmente non lineare, che potrebbe essere illustrato in un capitolo successivo. Questa linea potrebbe indicare dove il modello prevede le perturbazioni massime dei vortici in base ai parametri dati.
4. Interpretazione dei Risultati:
   • L’aggregazione dei simboli rispetto alle linee di regime suggerisce come i diversi valori di F e Ωb influenzano l’evoluzione del vortice. Ad esempio, ci sono molte occorrenze di comportamenti ‘H’ e ‘S’ in prossimità dei confini dei regimi indicati dalle linee tratteggiate, il che potrebbe suggerire che questi confini sono regioni di transizione tra comportamenti stabili e instabili o fortemente perturbati.
   • Nessun punto etichettato con ‘H’ (fortemente disturbato) si trova al di sotto del valore di Ωb = -0.25, il che potrebbe indicare che il disturbo significativo non si verifica al di sotto di questo valore di rotazione di sfondo.
   • La linea spessa e continua attraversa la regione dei punti ‘O’ e ‘S’, suggerendo che il picco di Amax si verifica in queste regioni, che potrebbero corrispondere a stati di maggiore instabilità o transizione nel comportamento dei vortici.

In conclusione, la Figura 4.6 è un ricco diagramma che mostra come diversi regimi di comportamento del vortice emergano in risposta a variazioni nei parametri di forzatura e rotazione di sfondo. Questi risultati sperimentali o di simulazione forniscono dati che possono essere confrontati con previsioni teoriche, aiutando a confermare, rifinire o mettere in discussione i modelli esistenti come quello di Kida.

La Figura 4.7 presenta quattro pannelli che esplorano le risposte di un modello di vortice alla variazione di due parametri: la rotazione di sfondo (Ωb) e il parametro di forzatura (F). Ogni pannello offre una rappresentazione visiva di diverse metriche di disturbo nel modello di Kida e in un modello numerico completamente non lineare forzato topograficamente. Ecco una spiegazione dettagliata per ciascun pannello:

Pannello A:

• Mostra contorni di A_max per il modello di Kida.
• La zona ombreggiata indica dove A_max supera 2, suggerendo una regione di forte disturbo che supera un certo valore critico.
• Le linee tratteggiate rappresentano i confini dei regimi previsti dal modello di Kida, che servono da benchmark per confrontare le osservazioni sperimentali.

Pannello B:

• Rappresenta il modello numerico completamente non lineare forzato topograficamente.
• Le croci indicano esperimenti specifici, che probabilmente mostrano comportamenti notevoli o esemplificativi.
• La regione ombreggiata dove A_max > 1 identifica aree di elevato disturbo, con un’intensità di disturbo che supera la soglia di 1.
• La linea continua e spessa indica il picco previsto di A_max, offrendo un confronto tra la teoria (capitolo 5) e i dati sperimentali.

Pannello C:

• Presenta contorni di κ_max, che potrebbe rappresentare una misura di massima perturbazione o stabilità del vortice nel modello completamente non lineare.
• Non c’è una regione ombreggiata, indicando che non esiste un valore critico di κ_max che è stato superato in queste simulazioni.

Pannello D:

• Mostra contorni di κ_min, potenzialmente una misura di minima perturbazione o stabilità.
• La regione ombreggiata identifica dove κmin è inferiore a -0.6, indicando che in questa regione si verifica una divisione del vortice (split), un evento significativo nel comportamento del vortice.

Interpretazione Generale:

• La densità delle linee di contorno in ogni pannello fornisce un’indicazione del gradiente di perturbazione; linee ravvicinate indicano variazioni rapide.
• I pannelli B, C e D possono essere confrontati direttamente con il Pannello A per vedere come le predizioni del modello di Kida si allineano con i risultati del modello completamente non lineare.
• Le linee tratteggiate indicano le soglie previste dal modello di Kida per i diversi regimi di comportamento del vortice, permettendo di osservare dove i dati sperimentali confermano o deviano da queste previsioni.
• La linea punteggiata indica un valore di riferimento specifico (Ω0 = -0.25) che può essere significativo nel contesto della dinamica dei vortici studiata.

Insieme, questi pannelli forniscono una vista complessiva di come i vortici rispondono a diversi livelli di forzatura in due modelli diversi, mostrando sia le previsioni teoriche che i dati sperimentali. Questo aiuta a valutare la validità e l’applicabilità del modello di Kida rispetto alle osservazioni nel modello completamente non lineare.

Analisi dei Risultati dei Modelli di Vortici in Regimi di Forte Forzatura

La posizione del picco nella massima ampiezza del disturbo segue strettamente il confine del regime di rotazione antiorario nel modello di vortice di Kida. Le differenze tra i due modelli rimangono minime anche ai più alti livelli del parametro di forzatura. Questa discrepanza tra il modello di vortice di Kida e il modello forzato topograficamente, quando il parametro di forzatura diventa grande, è prevedibile. Gli stati di vortice fortemente disturbati, associati ad alte ampiezze di forzatura, tendono a superare le scale di lunghezza orizzontali entro le quali la deformazione secondo Kida rappresenta una buona approssimazione della forzatura topografica.

A destra del confine curvo del regime di Kida, si osserva un’eccellente corrispondenza tra Amax nel modello forzato topograficamente e Amax come previsto dal modello di Kida. A sinistra di questo confine, i valori di Amax nei due modelli divergono. Tuttavia, permane una buona corrispondenza qualitativa; fissando il parametro di forzatura, A_max diminuisce allontanandosi dal confine del regime curvo di Kida verso valori più negativi di Ωb. Inoltre, i valori di A_max a sinistra del confine del regime curvo di Kida sono sensibilmente più elevati di quelli a destra del confine. Questi maggiori valori di A_max corrispondono a stati di vortice approssimativamente ellittici con un grande rapporto di aspetto, che sono noti per la loro instabilità lineare anche a fronte di piccole perturbazioni.

I pannelli C e D mostrano i valori massimi e minimi osservati del parametro κ4 durante l’evoluzione del vortice in ogni esperimento. Vale la pena ricordare che κ₄ è zero sia per un vortice circolare indisturbato con vorticità interna uniforme, sia per un vortice ellittico, quindi κ_max è sempre maggiore o uguale a zero e κ_min è sempre minore o uguale a zero. È possibile osservare l’evoluzione dei vortici che esibiscono sia grandi valori positivi di κ_max, segnalando una forte filamentazione del vortice, sia grandi valori negativi di κ_min, indicando che il vortice è fortemente compresso. Un esempio potrebbe essere un vortice che si divide prima di subire una intensa filamentazione e si mescola con il flusso circostante.

Esaminando i pannelli C e D, si nota che valori molto alti di κmax e valori molto bassi di κmin si verificano solo a sinistra del confine del regime curvo di Kida. In altre parole, κ₄ rimane quasi zero durante tutta l’evoluzione del vortice nella regione a destra del confine del regime curvo, indicando che il vortice rimane ellittico in ogni momento in questa regione. Questo comportamento è confermato dall’analisi di stabilità di Dritschel per il modello di vortice di Kida. Stabilità nel modello di Kida in questa regione dello spazio dei parametri sembra implicare la stabilità del vortice anche nel modello forzato topograficamente.

Nel pannello C, valori elevati di κ_max a sinistra della regione instabile indicano che l’instabilità del vortice nel modello forzato topograficamente conduce a una marcata filamentazione del vortice in questi esperimenti. Solo nella regione compresa tra il confine del regime curvo di Kida e il confine verticale si osservano valori molto bassi di κ_min. In particolare, la divisione del vortice, che si verifica quando κmin è inferiore a -0.6, è osservata solo in una ristretta fascia di spazio dei parametri immediatamente a sinistra del confine del regime curvo di Kida, e solo per valori di F superiori a 0.05. Con l’aumentare di F, il sotto-regime di divisione del vortice si allarga, indicando che valori di Ωb più lontani dal confine curvo porteranno anche alla divisione del vortice. Valori bassi di κ_max in questo sotto-regime indicano che in questa regione, l’instabilità si manifesta principalmente come divisione su larga scala del vortice, piuttosto che come combinazione di divisione del vortice e filamentazione.

Come discusso in precedenza, l’instabilità non lineare di un vortice ellittico molto allungato porta alla divisione del vortice, corrispondente alla crescita di perturbazioni ellittiche azimutali con numero d’onda 2 sul bordo del vortice. Per rapporti di aspetto meno estremi, l’instabilità non lineare si verifica a causa della crescita di perturbazioni ellittiche azimutali con numero d’onda 4, portando alla filamentazione del vortice.

Struttura e Evoluzione dei Vortici

È ora vantaggioso comparare il comportamento dei vortici e le instabilità predette dalle Figure 4.6 e 4.7 con le effettive osservazioni dell’evoluzione dei vortici durante gli esperimenti. Per fare ciò, si è ottenuta una rappresentazione nello spazio delle fasi del movimento del vortice introducendo delle variabili specifiche, X e Y, tramite le formule fornite (Dritschel 1990). Le diverse categorie di comportamento del vortice sono poi ben illustrate tracciando le traiettorie nello spazio delle fasi (X, Y).

La Figura 4.8 mostra scatti dell’evoluzione dei vortici per ciascuna delle classificazioni presenti nella Figura 4.6, e la Figura 4.9 mostra le corrispondenti traiettorie delle variabili X e Y durante l’evoluzione del vortice. Si noti la diversa scala per gli assi (X, Y) in ciascuno dei pannelli della Figura 4.9. Per il moto quasi periodico mostrato dal modello forzato topograficamente nei pannelli da A a E, la traiettoria (X, Y) rappresenta almeno un periodo completo.

Nel pannello A, il vortice compie una rotazione antioraria mantenendo una forma ellittica con rapporto d’aspetto variabile, e il tempo per una rivoluzione completa è di circa t = 22, come si vede dal pannello A della Figura 4.9.

Nel pannello B si osserva un comportamento oscillante, con il rapporto d’aspetto massimo del vortice molto maggiore rispetto a quello nel pannello A, nonostante il parametro di forzatura F sia molto più piccolo. In termini della traiettoria (X, Y) nel pannello B della Figura 4.9, il comportamento oscillante si manifesta come una deviazione nella traiettoria vicino all’origine. La forma del vortice al tempo t = 36 suggerisce che le estremità degli assi maggiori iniziano ad arrotolarsi, segnalando l’instabilità della struttura.

La rotazione in senso orario e la rotazione fortemente disturbata in senso orario sono rappresentate nei pannelli C e D. Dalla Figura 4.9 si vede che il vortice nel pannello C completa una rivoluzione a circa t = 32, e nel pannello D a circa t = 24. In entrambi i casi, le immagini dei vortici mostrano comportamenti instabili, con l’instabilità caratterizzata dalla crescita di perturbazioni ellittiche azimutali di wavenumber-4 sul bordo del vortice, che porta allo sfaldamento della vorticità dalle estremità degli assi maggiori dell’ellisse.

Un comportamento analogo è osservato nel pannello E, classificato come moto oscillatorio fortemente disturbato. La filamentazione del vortice osservata nei pannelli C-E è in accordo con i grandi valori positivi di κmax per questi esperimenti, come visto nel pannello C della Figura 4.7.

Nel pannello F della Figura 4.8, le immagini indicano che il rapporto d’aspetto del vortice ellittico diventa via via più grande, pur mostrando pochi cambiamenti nell’orientamento, che rimane quasi fisso rispetto alla forzatura topografica. Dalle traiettorie (X, Y) nel pannello F della Figura 4.9, si vede che fino a t ≈ 24 l’evoluzione del vortice è simile a quella prevista dal vortice di Kida. Tuttavia, le immagini mostrano che a t = 28 una perturbazione ellittica azimutale di wavenumber-2 sta crescendo sul bordo del vortice e il vortice si stringe. Come indicato dal grande valore negativo di κmin per questo esperimento, la crescita di questa perturbazione porta alla completa divisione del vortice in due vortici figli di dimensioni comparabili. Questi vortici figli poi continuano a ruotare in senso orario attorno al loro centroide comune. Questo comportamento di scissione, in cui l’orientamento del vortice si stabilizza rispetto alla forzatura topografica diventando sempre più ellittico, seguito da una completa divisione del vortice in due frammenti, è molto simile al comportamento osservato nel vortice polare dell’emisfero nord durante gli eventi di scissione del vortice, come visto nel capitolo 2.

Struttura ed evoluzione del vortice

È utile confrontare il comportamento e le instabilità dei vortici previsti dalle Figure 4.6 e 4.7 con le osservazioni effettive dell’evoluzione dei vortici durante gli esperimenti. Per questo, si utilizza una rappresentazione nello spazio delle fasi del moto del vortice, introducendo le variabili X e Y (secondo la definizione di Dritschel del 1990). Le diverse tipologie di comportamento dei vortici sono illustrate tracciando le loro traiettorie in questo spazio delle fasi.

La Figura 4.8 presenta istantanee dell’evoluzione del vortice per ciascuna delle classificazioni mostrate nelle Figure 4.6 e 4.7. La Figura 4.9 mostra le corrispondenti traiettorie di X e Y durante l’evoluzione del vortice, con una scala diversa degli assi (X, Y) in ogni pannello. Per il moto quasi-periodico osservato nel modello forzato topograficamente (pannelli A-E), la traiettoria (X, Y) rappresenta almeno un intero periodo.

Nel pannello A, il vortice esegue una rotazione antioraria mantenendo una forma ellittica con variazione del rapporto d’aspetto, impiegando circa t = 22 per un giro completo, come mostrato nel pannello A della Figura 4.9.

Nel pannello B, si osserva un comportamento oscillante, con un rapporto d’aspetto massimo del vortice significativamente maggiore rispetto a quello nel pannello A, nonostante un parametro di forzamento F minore. La traiettoria (X, Y) in questo pannello mostra un comportamento oscillatorio come una deviazione vicino all’origine. La forma del vortice a t = 36 suggerisce l’inizio dell’instabilità con le estremità degli assi maggiori che iniziano a arrotolarsi.

I pannelli C e D mostrano rotazioni in senso orario e fortemente disturbate in senso orario. Come si vede dalla Figura 4.9, il vortice nel pannello C completa un giro completo circa a t = 32, e nel pannello D circa a t = 24. In entrambi i casi, le immagini mostrano un comportamento instabile del vortice, caratterizzato dalla crescita di disturbi ellittici azimutali con numero d’onda 4 sui bordi del vortice, che porta allo sganciamento della vorticità dalle estremità degli assi maggiori dell’ellisse (vedi ad esempio la Figura 12c di Dritschel 1986). Un comportamento simile è osservato nel pannello E, classificato come moto oscillatorio altamente disturbato. La filamentazione del vortice nei pannelli C-E corrisponde ai valori elevati di κmax per questi esperimenti, come visto nel pannello C della Figura 4.7.

Nel pannello F della Figura 4.8, le immagini indicano che il rapporto d’aspetto dell’ellisse diventa progressivamente maggiore, con pochi cambiamenti nell’orientamento, rimanendo quasi fisso rispetto al forzamento topografico. Dalle traiettorie (X, Y) nel pannello F della Figura 4.9, si osserva che fino a t ≈ 24 l’evoluzione del vortice è simile a quella prevista per il vortice di Kida. Tuttavia, le immagini mostrano che a t = 28 inizia a crescere un disturbo ellittico azimutale con numero d’onda 2 sul bordo del vortice, portando a una contrazione del vortice. Questo, come indicato dal valore negativo di κmin per questo esperimento, porta alla divisione completa del vortice in due vortici figli di dimensioni simili. Questi vortici figli poi ruotano in senso orario attorno al loro centroide comune. Questo comportamento di divisione, in cui l’orientamento del vortice diventa fisso rispetto al forzamento topografico e sempre più ellittico, seguito dalla completa divisione del vortice in due frammenti, ricorda il comportamento osservato nel vortice polare dell’emisfero settentrionale durante gli eventi di divisione del vortice, come descritto nel capitolo 2.

4.6 Conclusioni

Riassumendo i risultati presentati in questo capitolo, si affrontano individualmente ciascuna delle domande Q1-Q3 introdotte all’inizio.

Q1: Suddivisione del vortice in un modello stratosferico a strato singolo Nel modello di acque poco profonde influenzato dalla topografia, l’evoluzione del vortice si caratterizza per valori elevati di Amax, osservati come un vortice ellittico allungato. Dritschel (1986) ha dimostrato che, in assenza di flusso di fondo, i vortici ellittici molto allungati (re ≈ 1/6) sono instabili a perturbazioni ellittiche azimutali di numero d’onda 2, le quali restringono il vortice intorno al suo centro, portando infine alla divisione del vortice. Per i vortici ellittici moderatamente allungati (1/6 < re < 1/5), prevale l’instabilità delle perturbazioni ellittiche azimutali di numero d’onda 4, che causano la filamentazione della vorticità dalle estremità degli assi maggiori dell’ellisse.

Si prevede che i regimi instabili del modello forzato topograficamente, dove A_max è più elevato, mostreranno instabilità nella divisione del vortice, mentre nelle regioni con A_max da moderato ad alto, prevarranno le instabilità caratterizzate dalla filamentazione. I risultati del modello numerico confermano questa previsione, con comportamenti di divisione del vortice osservati vicino al confine del regime curvilineo, dove i valori di A_max sono più alti, e comportamenti di filamentazione del vortice osservati nei regimi instabili lontani da tale confine.

La sola risonanza non è sufficiente per indurre la divisione del vortice. Perché ciò avvenga, Ωb deve essere sufficientemente vicino alla risonanza e il forzamento F deve essere significativamente elevato. Per il valore di B = 0 utilizzato in questo capitolo, si è notato che il parametro di forzamento F deve superare 0.05 per ottenere la divisione del vortice. Inoltre, all’aumentare di F, l’intervallo dei valori di Ωb che provocano la divisione del vortice si amplia, e la divisione può verificarsi anche più lontano dalla risonanza.

Q2: Eccitazione di una risonanza lineare e il ruolo della non linearità Nel modello influenzato dalla topografia con B = 0, per valori bassi del parametro di forzamento F, si osserva che il picco di A_max si verifica quando Ωb = Ω0, come predetto dalla risonanza di onde di piccola ampiezza che viaggiano liberamente con il flusso di fondo. Tuttavia, con l’aumento di F, la posizione del picco di A_max si sposta da Ω0. Questo è attribuibile agli effetti non lineari che alterano la frequenza delle onde di grande ampiezza rispetto a quella prevista dalla teoria lineare.

Questa transizione di A_max è prevista in modo accurato dal confine del regime curvo di Kida nel modello forzato topograficamente quando B = 0. Questo è dovuto al comportamento quasi stazionario degli stati vorticosi che si trovano su questo confine del regime curvo nel modello di Kida, un comportamento che rappresenta una condizione necessaria per la risonanza del vortice con il flusso di sottofondo.

Nel capitolo 5, si utilizza la teoria non lineare debole per fare previsioni quantitative sugli effetti della non linearità sulla migrazione della risonanza osservata in questo capitolo. Ciò è particolarmente rilevante nei casi in cui B ≠ 0, dove non esiste un confronto diretto tra il modello forzato topograficamente e il vortice di Kida.

Q3: L’applicazione del modello di vortice di Kida e la sua stabilità I risultati della sezione precedente hanno dimostrato che il modello di vortice di Kida fornisce previsioni molto precise sul comportamento di un vortice inizialmente circolare soggetto a forzamento topografico in un modello di acque poco profonde quasi-geostrofiche.

Nel modello di acque poco profonde barotropiche con B = 0 (equivalente a un flusso fluido puramente bidimensionale) e per valori bassi del parametro di forzamento F, la classificazione comportamentale dell’evoluzione del vortice corrisponde quasi esattamente a quella prevista dal modello di Kida. Questa corrispondenza si osserva anche per ampiezze di forzamento elevate, a condizione che i parametri di flusso (Ωb, F) si trovino nel regime di rotazione antioraria del modello di Kida.

La stabilità del vortice forzato topograficamente può essere altrettanto accuratamente predetta per analogia con i regimi stabili e instabili del modello di Kida. Gli stati vorticosi che ruotano antiorariamente nel modello di acque poco profonde sono considerati stabili durante la loro evoluzione, mantenendo una forma quasi ellittica costante, come previsto dalla stabilità di questo regime nel modello di vortice di Kida. Al contrario, i parametri di flusso (Ωb, F) che cadono nei regimi di rotazione oraria, oscillazione ed estensione, che sono linearmente instabili nel modello di vortice di Kida, conducono a un’evoluzione instabile del vortice nel modello forzato topograficamente, caratterizzata sia da filamentazione che da divisione del vortice.

È stato anche mostrato che per qualsiasi combinazione di parametri (Ωb, F), il rapporto d’aspetto massimo previsto dal modello di vortice di Kida fornisce un’indicazione sull’ampiezza massima A_max delle perturbazioni ondulate nel vortice forzato topograficamente. In entrambi i modelli, i valori di A_max sono maggiori nei regimi a sinistra del confine del regime curvo di Kida, con un notevole incremento di A_max al confine curvo, che si riduce a valori molto inferiori nel regime di rotazione antioraria sulla destra.