Sulla rappresentazione del rumore moltiplicativo nella modellizzazione degli eventi di Dansgaard-Oeschger

R I A S S U N T O

In questo studio viene esaminata l’interpretazione del rumore moltiplicativo all’interno di un’equazione differenziale stocastica nel contesto della modellizzazione inversa basata sui dati. Applicando questa analisi al noto fenomeno paleoclimatico degli eventi di Dansgaard-Oeschger, emergono ‘potenziali climatici’ qualitativamente diversi a seconda che si adotti l’interpretazione di Itô o di Stratonovich dell’integrale stocastico. Mentre un modello fisico incorpora un’interpretazione intrinseca, sia implicita che esplicita, i modelli inversi derivati dai dati non dispongono di tale caratteristica. In questi casi, è necessario accompagnare l’equazione del modello matematico con un modello fisico per poter scegliere correttamente un’interpretazione stocastica. Questo studio di caso evidenzia le differenze tra le due interpretazioni del rumore stocastico e sottolinea l’importanza di integrare vincoli fisici nella costruzione di modelli stocastici concettuali basati sui dati climatici osservati.

1. Introduzione

Uno degli esempi più noti di cambiamenti climatici improvvisi osservati nei record paleoclimatici sono gli eventi di Dansgaard–Oeschger (D-O). Il record climatico dell’Ultimo Periodo Glaciale (LGP), che si estende approssimativamente da 120 a 11 mila anni prima dell’anno 2000 (kyr b2k), è misurato nei carotaggi della calotta glaciale della Groenlandia e si caratterizza per transizioni improvvise e marcate tra periodi più freddi (stadiali) e periodi più caldi (interstadiali) [1]. Questi cambiamenti climatici, noti come eventi D-O, si sono verificati circa 24 volte durante il LGP. Gli eventi D-O comportano un riscaldamento di circa 10–15 Kelvin in Groenlandia in poche decadi, seguito da un graduale raffreddamento fino alle condizioni glaciali complete dello stadiale [2]. Sebbene le prove dirette degli eventi D-O siano limitate al LGP, poiché il record dei carotaggi di ghiaccio della Groenlandia copre solo fino alla fine dell’ultimo periodo interglaciale, non è escluso che tali eventi possano essere avvenuti anche in periodi glaciali precedenti. L’accoppiamento con i carotaggi di ghiaccio dell’Antartide [3], le evidenze nei sedimenti marini [4] e nelle speleotemi [5] (vedi anche i riferimenti citati) suggeriscono che possano essersi verificati in altri periodi glaciali.

Gli eventi D-O sono di particolare interesse nel contesto climatico attuale principalmente per la loro scala temporale. Essi dimostrano che il clima può cambiare su scale temporali rilevanti per il futuro prossimo, ovvero nell’arco di decadi o secoli. Inoltre, sono intriganti poiché non vi è consenso universale sulle loro cause e meccanismi di transizione. Le transizioni tra stati stadiali e interstadiali possono essere forzate esternamente [6–11], stocastiche [12–17], o entrambe [18]. I possibili fattori fisici determinanti per le transizioni includono cambiamenti nella copertura di ghiaccio marino [19,20], nei livelli di anidride carbonica atmosferica [21,22] o eventi vulcanici [23]. I modelli completi generalmente rappresentano gli eventi D-O come oscillazioni [24,25] e le transizioni non sono spontanee. Vedi anche le recensioni [26–28].

Gli eventi D-O sono difficili da simulare nei modelli complessi, e quindi una comprensione completa delle loro cause è ancora mancante. Per questo motivo, è utile indagarli utilizzando modelli di sistemi dinamici semplificati, dove la dinamica è pienamente visibile. Senza una comprensione completa, una strategia di modellizzazione è quella di costruire modelli semplificati, ottimizzando i parametri per adattarsi al meglio ai dati osservativi. Questo approccio è noto come modellizzazione inversa. Tali modelli concettuali possono essere derivati dai dati [29-31] o costruiti a partire da principi fisici [32,33]. Generalmente, i modelli inversi derivati dai dati degli eventi D-O non propongono un meccanismo fisico, mentre i modelli concettuali sviluppati da principi fisici lo fanno intrinsecamente.

1.1. Modelli di equazioni differenziali stocastiche degli eventi D–O

Questo studio sviluppa un modello concettuale dai dati utilizzando un approccio di modellizzazione inversa. Il paradigma del modello adottato descrive il proxy climatico come una variabile di un’equazione differenziale stocastica.

L’idea centrale di questa metodologia è modellare il clima come guidato da dinamiche climatiche a lungo termine descritte da una funzione, insieme a una componente stocastica che rappresenta processi che avvengono su scale temporali molto più rapide.

Osservando i dati che mostrano due stati climatici distinti, lo stadiale e l’interstadiale, è naturale considerare i cambiamenti improvvisi come transizioni tra uno stato stabile e l’altro. La quantità misurata nei carotaggi di ghiaccio è il rapporto isotopico δ18O, che funge da proxy per la temperatura locale. La correlazione tra i record dei sedimenti oceanici e quelli dei carotaggi di ghiaccio suggerisce che l’oceano Atlantico sia la fonte di queste transizioni. In questo contesto, le variazioni di temperatura paleoclimatica sono un proxy della forza della circolazione oceanica nell’Atlantico del Nord. Un meccanismo di bistabilità nell’Atlantico del Nord è rappresentato dalla circolazione termoalina, che può esistere in modalità multiple. Due regimi di flusso, uno con una forte circolazione meridionale dall’equatore al polo e uno con una circolazione debole, corrispondono rispettivamente a temperature più calde e più fredde in Groenlandia.

Questa bistabilità è osservata sia nei modelli concettuali sia nei modelli di circolazione generale, con i modelli di sistemi terrestri più recenti in grado di riprodurre spontaneamente eventi simili a quelli di D–O. Un meccanismo proposto per gli eventi D–O è un sistema climatico bistabile, come la circolazione oceanica, influenzato da un elemento stocastico, come i flussi di acqua dolce derivanti da forzanti atmosferiche come il vento, il riscaldamento superficiale e le precipitazioni, che causano transizioni tra i due stati. Esempi di studi che seguono un quadro simile utilizzano metodi come modelli con rumore non gaussiano, filtri di Kalman, modelli di miscela gaussiana o modelli di oscillazione di rilassamento, inferenza bayesiana dei parametri e potenziali non stazionari.

Rumore Additivo?

1.2. Rumore Additivo

La maggior parte degli studi precedenti presuppone che l’intensità del rumore sia costante o additiva. L’equazione di Fokker-Planck associata a un modello con rumore additivo descrive come cambia la distribuzione di probabilità nel tempo.

Quando si ottiene la distribuzione di probabilità stazionaria dai dati osservativi, il potenziale che guida la dinamica del sistema con rumore additivo può essere determinato da questa distribuzione. In altre parole, il potenziale è legato al logaritmo della densità di probabilità stazionaria. Poiché il logaritmo è una funzione monotona, i massimi della densità di probabilità corrispondono ai minimi del potenziale e quindi agli equilibri stabili della dinamica del sistema. Di conseguenza, il numero di stati di equilibrio del sistema è sempre uguale al numero di massimi nella distribuzione di probabilità.

Rumore Moltiplicativo

1.3. Rumore Moltiplicativo

Dai record paleoclimatici si osserva che l’intensità delle fluttuazioni rapide, che costituiscono il rumore, dipende dallo stato climatico. Questo tipo di rumore, che varia in base allo stato, è chiamato rumore moltiplicativo. In questo caso, derivare il potenziale risultante non è semplice. Questo perché, quando si integra il termine del rumore usando funzioni generalizzate, il valore atteso può variare a seconda del punto di integrazione scelto nell’intervallo.

Le due interpretazioni più comuni di questo processo sono l’interpretazione di Itô, che utilizza l’estremo sinistro dell’intervallo, e l’interpretazione di Stratonovich, che utilizza il punto medio. Esiste anche una convenzione più generale, chiamata convenzione α, che permette di designare le diverse interpretazioni scegliendo un valore di α nell’intervallo. In teoria, qualsiasi valore di α tra 0 e 1 è una scelta valida per l’integrale stocastico, ma le interpretazioni di Itô e Stratonovich sono le più comuni.

A causa delle differenze negli integrali stocastici, un modello stocastico è incompleto senza specificare l’interpretazione del termine di rumore. Di conseguenza, la stessa equazione differenziale stocastica può portare a processi stocastici diversi a seconda che si applichi l’interpretazione di Itô o quella di Stratonovich. Un corollario è che due diverse equazioni differenziali stocastiche, una interpretata come Itô e l’altra come Stratonovich, possono dar luogo allo stesso processo stocastico. Pertanto, risolvere il problema inverso di derivare l’equazione differenziale stocastica, e in particolare il potenziale, da una realizzazione stocastica richiede una specifica interpretazione del rumore.

In questo studio, deriviamo l’equazione differenziale stocastica dai dati sia per gli integrali di Itô che di Stratonovich. Queste equazioni si distinguono per la notazione, dove il termine di Itô è rappresentato con un punto e quello di Stratonovich con un cerchio. L’equazione di Fokker-Planck associata alla convenzione α mostra che esiste una relazione semplice tra i termini di deriva delle due interpretazioni, permettendo di convertire un integrale di Stratonovich in uno di Itô e viceversa.

Questa relazione è particolarmente utile quando si integra numericamente un’equazione differenziale stocastica, poiché il metodo di Euler–Maruyama, comunemente usato, è applicabile solo alle equazioni di Itô. Un’equazione di Stratonovich può essere convertita in una di tipo Itô e integrata usando il metodo di Euler–Maruyama, oppure integrata con uno schema di predizione-correzione come il metodo di Heun. Le interpretazioni di Itô e Stratonovich presentano altre differenze, la più notevole delle quali è che la differenziazione sotto l’interpretazione di Itô richiede il lemma di Itô, mentre l’interpretazione di Stratonovich utilizza la regola della catena del calcolo regolare.

Uno studio precedente include il rumore dipendente dallo stato sotto forma di un termine di rumore costante a tratti, dove l’ampiezza è minore negli interstadiali rispetto agli stadiali. Tuttavia, la loro funzione di rumore dipendente dallo stato ha comunque una derivata che è zero tranne che in un unico punto, quindi non c’è differenza tra le interpretazioni stocastiche.

2. Dati

I dati paleoclimatici studiati provengono da una serie temporale del rapporto isotopico δ18O in permille, misurati nel carotaggio di ghiaccio della Groenlandia nell’ambito del North Greenland Ice-core Project (NGRIP) [45]. Vengono utilizzati i valori medi su periodi di 20 anni, basati sulla scala temporale GICC05modeltext [46]. La serie temporale è stata troncata a 85 mila anni prima dell’anno 2000 (kyr b2k), poiché la risoluzione diminuisce ulteriormente nel tempo a causa dell’assottigliamento degli strati di ghiaccio nel carotaggio. Per una distinzione più precisa dei due stati climatici, i dati sono stati detrendizzati. Le tendenze dovute alle variazioni orbitali dell’insolazione sono state rimosse sottraendo una media mobile di 25 mila anni [17], analizzando così l’anomalia risultante del δ18O. Questa media mobile di 25 mila anni corrisponde alla frequenza più alta delle variazioni orbitali, ossia la precessione, che ha un periodo di circa 20 mila anni. Questo metodo, essenzialmente un filtro a finestra rettangolare, ha la proprietà importante di non eliminare gli impulsi, cioè gli eventi D–O stessi. La Figura 1 mostra la serie temporale che rappresenta il punto di partenza di questo studio.

Spiegazione della Figura 1

Figura 1. Segnale del rapporto isotopico δ18O detrendizzato dall’NGRIP per il periodo compreso tra 20 e 85 mila anni prima dell’anno 2000 (kyr b2k) (si noti che il tempo scorre da destra a sinistra).

La Figura 1 rappresenta l’anomalia del rapporto isotopico δ18O misurata nei carotaggi di ghiaccio della Groenlandia, estratti nell’ambito del progetto NGRIP. Questo segnale è stato depurato dalle tendenze a lungo termine per evidenziare meglio le fluttuazioni rapide e gli eventi di Dansgaard-Oeschger (D-O).

Dettagli della Figura:

  1. Asse verticale (Y): Mostra l’anomalia del rapporto isotopico δ18O in permille. Il δ18O serve come proxy per la temperatura locale: valori più alti indicano temperature più calde, mentre valori più bassi indicano temperature più fredde.
  2. Asse orizzontale (X): Indica il tempo in migliaia di anni prima del 2000 (kyr b2k). È importante notare che il tempo scorre da destra a sinistra, quindi i dati più recenti sono a destra e quelli più antichi sono a sinistra.
  3. Interpretazione del segnale: Il grafico mostra fluttuazioni rapide tra valori positivi e negativi, rappresentando le transizioni tra periodi più caldi (interstadiali) e più freddi (stadiali) nel record climatico. Queste transizioni sono gli eventi D-O, caratterizzati da cambiamenti improvvisi nella temperatura locale.
  4. Scopo della detrendizzazione: La detrendizzazione è stata effettuata per rimuovere le tendenze dovute alle variazioni orbitali, permettendo così di focalizzarsi sulle fluttuazioni rapide legate agli eventi D-O senza l’influenza delle variazioni a lungo termine.

In sintesi, la Figura 1 offre una rappresentazione chiara delle rapide fluttuazioni climatiche durante il periodo glaciale, mettendo in evidenza gli eventi D-O attraverso l’analisi dell’anomalia del rapporto isotopico δ18O.

3. Metodi

3.1. Derivazione del rumore moltiplicativo

Per derivare il termine di rumore moltiplicativo dai dati viene utilizzato un metodo euristico. Poiché le fluttuazioni sono maggiori durante i periodi stadiali rispetto agli interstadiali, si adotta una funzione lineare decrescente per descrivere il rumore in relazione all’anomalia del δ18O. Fisicamente, se il termine del rumore rappresenta l’influenza dell’atmosfera, un aumento delle temperature in Groenlandia corrisponde a una diminuzione del gradiente di temperatura meridionale, riducendo così la forzatura atmosferica. Seguendo la definizione dei periodi stadiali e interstadiali, i dati vengono separati in questi due stati. Si calcolano i valori medi e le fluttuazioni in ciascuno di questi stati e da questi valori si costruisce la funzione lineare. Per misurare le fluttuazioni, si assume che il segnale in ciascuno dei due stati segua un processo stocastico specifico.

3.2. Derivazione dei potenziali non lineari

Una volta determinata la funzione che descrive il rumore moltiplicativo, si risolve l’equazione associata per ottenere i potenziali che descrivono la dinamica del sistema nei due diversi calcoli stocastici. La Figura 2 mostra i potenziali ottenuti dalle interpretazioni di Itô e Stratonovich, insieme al potenziale per il caso di rumore additivo. Confrontando la deriva nei casi di rumore moltiplicativo con quella del rumore additivo, si osserva che la stabilità del periodo interstadiale è notevolmente ridotta. Inoltre, nel caso di Itô, il periodo interstadiale ha perso stabilità, rendendo il potenziale climatico risultante monostabile.

Spiegazione della Figura 2

Figura 2. Potenziali derivati

La Figura 2 mostra i potenziali derivati per tre diversi scenari di rumore: rumore additivo e rumore moltiplicativo nelle interpretazioni di Stratonovich e Itô. Questi potenziali rappresentano la stabilità dei vari stati climatici in funzione dell’anomalia del δ18O.

Dettagli della Figura:

  1. Asse verticale: Rappresenta il potenziale, con valori più bassi che indicano una maggiore stabilità del corrispondente stato climatico.
  2. Asse orizzontale: Mostra l’anomalia del δ18O in permille, un indicatore della temperatura locale. Valori più alti indicano temperature più calde, mentre valori più bassi indicano temperature più fredde.
  3. Linee colorate:
    • Linea blu (Rumore additivo): Rappresenta il potenziale con un rumore costante e non dipendente dallo stato climatico. Mostra due minimi distinti, che indicano due stati climatici stabili: uno freddo (stadiale) e uno caldo (interstadiale).
    • Linea rossa (Rumore moltiplicativo – Stratonovich): Rappresenta il potenziale considerando il rumore moltiplicativo secondo l’interpretazione di Stratonovich. Anche in questo caso ci sono due minimi distinti, ma il potenziale per il periodo caldo è meno profondo rispetto al caso di rumore additivo, indicando una minore stabilità.
    • Linea gialla (Rumore moltiplicativo – Itô): Rappresenta il potenziale considerando il rumore moltiplicativo secondo l’interpretazione di Itô. Qui si osserva un solo minimo, suggerendo che il periodo caldo ha perso stabilità, rendendo il sistema climatico monostabile con un solo stato stabile (freddo).

Interpretazione:

La figura illustra come la stabilità dei diversi stati climatici cambia a seconda del tipo di rumore considerato:

  • Rumore additivo: Mostra due stati stabili, corrispondenti ai periodi freddi e caldi, con il periodo caldo relativamente stabile.
  • Rumore moltiplicativo (Stratonovich): Indica che il periodo caldo è meno stabile rispetto al caso di rumore additivo, ma è ancora presente.
  • Rumore moltiplicativo (Itô): Suggerisce che il periodo caldo ha perso stabilità, rendendo il sistema climatico monostabile con solo lo stato freddo stabile.

Queste differenze sono cruciali per comprendere come il sistema climatico potrebbe rispondere a fluttuazioni stocastiche e ai cambiamenti nelle condizioni ambientali.

4. Discussione

A causa delle differenze qualitative nei potenziali ottenuti dalle due interpretazioni stocastiche, è necessaria un’attenta considerazione quando si derivano le proprietà fisiche del sistema dalle osservazioni. La questione principale è se il potenziale climatico che sottende gli eventi D-O sia monostabile, come suggerisce il calcolo di Itô, o bistabile, come suggerisce il calcolo di Stratonovich. Come si sceglie l’integrale stocastico appropriato? I dati, di per sé, non forniscono indicazioni specifiche sull’interpretazione e, matematicamente, il problema è risolvibile con entrambe le interpretazioni, purché siano applicate in modo coerente. La scelta è, in definitiva, un problema di modellizzazione. In questo contesto, l’equazione differenziale stocastica modellata inversamente dai dati richiede un modello fisico concettuale per interpretare i risultati. La comprensione convenzionale è che un sistema fisico è meglio rappresentato dall’interpretazione di Stratonovich. Il teorema di Wong-Zakai afferma che il limite di una sequenza di processi stocastici con autocorrelazione finita che tende a zero si interpreta come Stratonovich, derivando quindi da un processo continuo. Per un sistema completamente discreto, come nell’analisi finanziaria, l’interpretazione di Itô è più appropriata.

Tuttavia, le equazioni differenziali stocastiche unidimensionali sono spesso il risultato di una semplificazione di dinamiche che si verificano su più scale temporali. Attraverso questa riduzione, il rumore moltiplicativo di tipo Itô può essere osservato anche nei sistemi fisici. Un esempio prominente sono i sistemi inerziali con rumore colorato. Per semplificare queste dinamiche complesse, si adottano due limiti: uno è l’eliminazione adiabatica dell’inerzia veloce nel regime sovrasmorzato (conosciuto anche come regime di forte dissipazione o regime di Smoluchowski) e l’altro è l’approssimazione del rumore bianco per le dinamiche non risolte. Se la scala temporale del rilassamento inerziale è maggiore di quella dell’autocorrelazione del rumore, il rumore moltiplicativo assume la forma di Itô nel limite in cui entrambe le scale temporali tendono a zero. Se, invece, l’autocorrelazione del rumore è maggiore della scala temporale di rilassamento dell’inerzia, si utilizza l’interpretazione di Stratonovich per il rumore moltiplicativo.

Le differenze qualitative nei potenziali ottenuti dalle due interpretazioni stocastiche richiedono un’attenta considerazione quando si derivano le proprietà fisiche del sistema dalle osservazioni. La questione principale è se il potenziale climatico che sottende gli eventi D-O sia monostabile, come suggerisce il calcolo di Itô, o bistabile, come suggerisce il calcolo di Stratonovich. Come si sceglie l’integrale stocastico appropriato? I dati, di per sé, non forniscono indicazioni specifiche sull’interpretazione e, matematicamente, entrambe le interpretazioni sono valide se applicate in modo coerente. La scelta è, in definitiva, un problema di modellizzazione. In questo contesto, l’equazione differenziale stocastica derivata dai dati richiede un modello fisico concettuale per interpretare i risultati. La comprensione convenzionale è che un sistema fisico è meglio rappresentato dall’interpretazione di Stratonovich. Il teorema di Wong-Zakai afferma che il limite di una sequenza di processi stocastici con autocorrelazione finita, che tende a zero, si interpreta come Stratonovich, derivando quindi da un processo continuo. Per un sistema completamente discreto, come nell’analisi finanziaria, l’interpretazione di Itô è più appropriata.

Tuttavia, le equazioni differenziali stocastiche unidimensionali sono spesso il risultato di una semplificazione di dinamiche che si verificano su più scale temporali. Attraverso questa riduzione, il rumore moltiplicativo di tipo Itô può essere osservato anche nei sistemi fisici. Un esempio prominente sono i sistemi inerziali con rumore colorato. Per semplificare queste dinamiche complesse, si adottano due limiti: uno è l’eliminazione adiabatica dell’inerzia rapida nel regime sovrasmorzato (noto anche come regime di forte dissipazione o regime di Smoluchowski) e l’altro è l’approssimazione del rumore bianco per le dinamiche non risolte. Se la scala temporale del rilassamento inerziale è maggiore di quella dell’autocorrelazione del rumore, il rumore moltiplicativo assume la forma di Itô nel limite in cui entrambe le scale temporali tendono a zero. Se, invece, l’autocorrelazione del rumore è maggiore della scala temporale di rilassamento dell’inerzia, si utilizza l’interpretazione di Stratonovich per il rumore moltiplicativo.

In un sistema fisico descritto in termini di rumore bianco, l’inerzia rapida può essere eliminata per semplificazione. Questo è facile per il rumore additivo, ma per il rumore moltiplicativo i limiti devono essere considerati attentamente. Applicando il teorema di fluttuazione-dissipazione, il sistema può essere descritto in termini di potenziali equivalenti, mostrando che l’interpretazione di Stratonovich può essere utilizzata per il rumore moltiplicativo quando le correlazioni temporali del rumore sono più lunghe rispetto alle dinamiche di rilassamento.

Un altro esempio di rumore moltiplicativo di tipo Itô si trova in sistemi con ritardo di feedback del rumore. In tali sistemi, il rumore dipende esplicitamente dal passo temporale precedente attraverso l’introduzione di un ritardo nel feedback dello stato sul termine del rumore. I sistemi unidimensionali possono essere interpretati sia come Itô sia come Stratonovich quando sono coinvolte multiple scale temporali.

Ritornando alla serie temporale dell’anomalia del δ18O, per accompagnare l’equazione differenziale stocastica derivata direttamente dai dati, è necessario un modello fisico concettuale che fornisca sia un’idea dei meccanismi sottostanti sia un’interpretazione stocastica. Il modello stocastico bistabile di tipo Stommel è stato esteso per includere il rumore moltiplicativo, dove il termine del rumore moltiplicativo deriva dal trasporto stocastico della salinità e della temperatura. La circolazione termoalina rimane bistabile basandosi sul modello derivato dai dati.

In un altro studio, Kwasniok e Lohmann hanno adattato i dati degli eventi D-O a un oscillatore stocastico, trovando che il sistema si trova in un regime fortemente dissipativo, riducibile a un’equazione di primo ordine con eliminazione adiabatica della seconda derivata. Introducendo il rumore moltiplicativo, il sistema risultante può essere descritto con l’interpretazione di Itô, assumendo che l’autocorrelazione del rumore decada più velocemente del rilassamento della variabile rapida. Questo potrebbe essere interpretato come la scala temporale del rilassamento termico della temperatura superficiale della Groenlandia rispetto alla variabilità atmosferica. L’interpretazione stocastica rimane una scelta modellistica basata sulle dinamiche temporali del sistema.

Diversi studi modellano gli eventi D-O utilizzando un modello bidimensionale che solitamente assume la forma di un modello tipo van der Pol o FitzHugh–Nagumo. Questi modelli si concentrano su una variabile che si evolve su una scala temporale veloce, indicando che il sistema è in regime sottosmorzato e non può essere ridotto a una dimensione in modo adiabatica. Sebbene i modelli in questi studi includano solo rumore additivo, consideriamo la loro interpretazione stocastica nel caso di rumore moltiplicativo. Nel regime sottosmorzato, la differenza tra le interpretazioni di Itô e Stratonovich è trascurabile, quindi sono equivalenti.

Inizialmente, l’equazione differenziale stocastica di secondo ordine viene suddivisa in un sistema di equazioni del primo ordine. Utilizzando la convenzione α, la differenza tra le interpretazioni di Itô e Stratonovich è trascurabile rispetto alla scala temporale delle dinamiche. Se invece c’è una componente stocastica in entrambe le variabili, la differenza tra le interpretazioni di Itô e Stratonovich diventa significativa e deve essere considerata.

Lo studio di Krumscheid et al. include il rumore dipendente dallo stato nella derivazione del modello basato sui dati e assume il calcolo di Itô. Il loro termine di rumore moltiplicativo è rappresentato come una funzione costante a tratti, con derivata nulla tranne nei punti di salto. Per questo motivo, la differenza tra le interpretazioni di Itô e Stratonovich svanisce eccetto che in un singolo punto, che può essere trascurato. Il loro studio esamina anche funzioni continue come possibili termini di rumore, ma scopre che il modello con rumore additivo offre una migliore performance nella routine di fitting dei parametri.

5. Conclusioni

In questo studio, abbiamo sviluppato un modello concettuale degli eventi D-O basato sui dati, includendo il rumore moltiplicativo, e abbiamo osservato la ridotta stabilità dello stato interstadiale rispetto a quello stadiale. Abbiamo inoltre evidenziato l’importanza di specificare un calcolo stocastico per poter interpretare correttamente il potenziale climatico del modello. Abbiamo discusso modelli che possono essere interpretati sia secondo Itô sia secondo Stratonovich in casi limite, suggerendo che l’interpretazione dipende da una comprensione fisica del sistema. Ad esempio, se il sistema derivato dai dati fosse destinato a rappresentare la stabilità della circolazione termoalina ma il calcolo stocastico fosse interpretato secondo Itô, si potrebbe erroneamente concludere che i dati indicano una circolazione monostabile, nonostante prove al di là del record dei carotaggi di ghiaccio suggeriscano che sia bistabile.

Il risultato secondo cui l’interpretazione di Itô porta a dinamiche monostabili è confermato anche da altri modelli concettuali. Questi modelli monostabili eccitabili, caratterizzati da dinamiche veloci e lente, richiedono almeno due dimensioni, riflettendo lo scenario in cui l’interpretazione di Itô è applicabile. In altre parole, l’interpretazione di Itô deriva dalla riduzione di un sistema inerziale fortemente dissipativo, che può essere rappresentato come un sistema bidimensionale con diverse scale temporali, a un sistema unidimensionale.

In definitiva, questo lavoro dimostra che, nella derivazione dei modelli stocastici, l’interpretazione stocastica può influenzare in modo fondamentale i risultati. Determinare se la natura del clima che ha dato origine agli eventi D-O sia monostabile o bistabile è un passo cruciale per comprendere il fenomeno. Questa interpretazione è influenzata dalla natura del rumore, che può sembrare un formalismo matematico non fisico, ma è in realtà determinata dalle scale temporali delle dinamiche del sistema.

Contributi degli Autori

Kolja Kypke: Ricerca, Scrittura – bozza originale, Concettualizzazione. Peter Ditlevsen: Concettualizzazione, Supervisione, Scrittura – revisione e modifica.

Dichiarazione di Conflitto di Interessi

Gli autori dichiarano di non avere interessi finanziari concorrenti o relazioni personali che potrebbero aver influenzato il lavoro riportato in questo articolo.

Disponibilità dei Dati

Il record dei carotaggi di ghiaccio del progetto NGRIP è disponibile su Ice and Climate.

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