Eccitazione delle Onde di Rossby Transitorie sul Vortice Polare Stratosferico e il Riscaldamento Sudden Barotropico
ABSTRACT L’analisi dell’eccitazione delle onde di Rossby ai margini del vortice polare stratosferico, indotta da sollecitazioni topografiche variabili nel tempo, è stata condotta attraverso approcci analitici e numerici in un modello semplificato quasi-geostrofico su piano f. In un’atmosfera comprimibile, la risposta lineare del vortice mostra due componenti principali. La prima è costituita da onde che si propagano verso l’alto, generate da forzature con frequenze temporali all’interno di un intervallo definito di “Charney-Drazin”, il quale dipende dalla velocità angolare al bordo del vortice e dal numero di Burger del vortice stesso. La seconda componente è una modalità barotropica, attivata da forzature a frequenze fisse al di fuori dell’intervallo di Charney-Drazin. L’importanza relativa di queste due risposte, misurata in termini di pseudomomento angolare totale, varia a seconda del rapporto tra la scala orizzontale della forzatura e il raggio di Rossby. In condizioni stratosferiche standard, si osserva che la risposta barotropica prevale. Le simulazioni non lineari confermano che i risultati lineari sono ancora applicabili per interpretare la reazione del sistema in situazioni di intensa rottura non lineare delle onde di Rossby. Si evidenzia che un riscaldamento rapido, ovvero un incremento veloce del pseudomomento angolare del vortice, può essere indotto con intensità di forzatura molto inferiori quando la modalità barotropica è stimolata in modo risonante rispetto all’attivazione delle onde che si propagano verso l’alto. Viene inoltre descritta una simulazione numerica di un “riscaldamento improvviso barotropico”, risultato dell’eccitazione della modalità barotropica da una forzatura topografica relativamente debole.
1. Introduzione
Il rinnovato interesse per i riscaldamenti stratosferici improvvisi è cresciuto notevolmente a seguito dell’impressionante evento avvenuto nell’emisfero meridionale nel settembre 2002, come descritto in un numero speciale della rivista J. Atmos. Sci. del marzo 2005. Sinotticamente, questo evento di riscaldamento è stato evidenziato nelle mappe isentropiche della vorticità potenziale di Ertel (Newman e Nash, 2005) e nelle misure dell’ozono da satellite (Baldwin et al., 2003). L’evento si è manifestato con un allungamento del vortice polare nelle regioni inferiore e media della stratosfera, culminando con la divisione del vortice in due parti distinte. Nonostante l’ampio dibattito sulla causa dinamica di questo riscaldamento (Charlton et al., 2005; Harnik et al., 2005; Manney et al., 2005), la sua natura esatta, che sia dovuta a condizioni anomale nella troposfera o alla precondizione del vortice, rimane incerta.
A livello dinamico, si osserva un chiaro legame tra il flusso di Eliassen–Palm (EP) diretto verso l’alto a livello della tropopausa e gli eventi di riscaldamento stratosferico (Edmon et al., 1980; Dunkerton e Baldwin, 1991; Polvani e Waugh, 2004). Si ritiene generalmente che tale flusso sia generato dalla forzatura dinamica delle onde di Rossby di scala planetaria originarie della troposfera, inducendo il riscaldamento. Tuttavia, anche nei modelli, la correlazione tra le misurazioni della forzatura dinamica, come i campi dell’altezza geopotenziale a livello della tropopausa, e il flusso EP diretto verso l’alto non è ben delineata. Per esempio, il riscaldamento del 2002 nell’emisfero meridionale si è verificato in concomitanza con un’intensa attività di flusso EP diretto verso l’alto, sebbene le ampiezze delle onde di Rossby a quel livello non fossero eccezionali (vedi, per esempio, Charlton et al., 2005, Fig. 10). Ulteriormente, Scott e Polvani (2004) hanno dimostrato attraverso modelli diretti che la condizione della stratosfera può influenzare significativamente la magnitudine del flusso EP diretto verso l’alto. L’importanza relativa delle onde di Rossby stazionarie rispetto a quelle transitorie nel determinare questo flusso rimane ancora da chiarire (Scinocca e Haynes, 1998). Recentemente, Kushner e Polvani (2005) hanno evidenziato un riscaldamento improvviso spontaneo in un modello di circolazione generale basato solo su onde transitorie, mentre tradizionalmente, seguendo Matsuno (1971), la maggior parte delle simulazioni meccanicistiche dei riscaldamenti sono state effettuate con onde stazionarie.
Le teorie precedenti sui riscaldamenti stratosferici improvvisi includono la “teoria della risonanza lineare” proposta da Tung e Lindzen nel 1979. Questa teoria, originariamente sviluppata per un modello di canale sul piano β, prevede che i riscaldamenti improvvisi avvengano quando una modalità libera che si muove nella stratosfera entra in risonanza con un’onda stazionaria indotta. Tung e Lindzen hanno evidenziato la possibilità che la modalità barotropica nell’atmosfera possa essere eccitata in questo modo, oltre alla possibilità che altre modalità possano essere eccitate se esiste una superficie di inversione verticale, sopra la quale la modalità in questione diventa evanescente. Tuttavia, poiché la teoria è lineare, offre limitate indicazioni su se una crescita dell’onda risonante, per una data modalità verticale, possa mantenersi nel regime non lineare abbastanza a lungo da consentire lo sviluppo di un riscaldamento realistico. Per approfondire questa problematica, Plumb nel 1981 ha ampliato e sviluppato il lavoro di Tung e Lindzen introducendo modifiche debolmente non lineari al flusso medio nel canale β. Si è scoperto che una crescita dell’onda senza limiti si verifica solo se la forzatura stazionaria è inizialmente non risonante, con le modifiche al flusso medio che contribuiscono a portare le onde libere più vicine alla risonanza man mano che si sviluppano. Plumb ha chiamato questo meccanismo “risonanza auto-sintonizzante”, la cui presenza in modelli stratosferici più realistici è stata esplorata, ad esempio, da Smith nel 1989. In questo articolo, affrontiamo le questioni sopra citate analizzando un semplice vortice f-plane quasi-geostrofico, descritto dettagliatamente nella sezione 2. Il sistema consente entrambe le indagini, analitica e numerica, sulla relazione tra i dettagli di una forzatura temporale del confine inferiore prescritta, il flusso EP diretto verso l’alto e la risposta del vortice stesso. Nonostante le semplificazioni adottate, il sistema mantiene molti aspetti dinamici cruciali della stratosfera polare invernale, e sosteniamo che le relazioni ottenute siano estremamente pertinenti per la situazione nella stratosfera polare invernale di entrambi gli emisferi. Un punto di forza del modello è che permette di valutare direttamente la pertinenza delle teorie lineari o leggermente non lineari rispetto alle simulazioni numeriche completamente non lineari.
A differenza del modello del canale β, le simulazioni completamente non lineari del modello di vortice riescono a catturare quello che consideriamo l’aspetto fondamentale della dinamica non lineare della stratosfera invernale: la dinamica legata alla distorsione di ampiezza finita di un vortice colonnare tridimensionale.
Proseguendo, viene condotta un’analisi lineare simile a quella di Tung e Lindzen (1979a) per il modello del canale β, ma con un approccio generalizzato che permette la forzatura transitoria con una dipendenza temporale arbitraria. L’attenzione è focalizzata sullo sviluppo di previsioni lineari per l’evoluzione di grandezze che rispettano le leggi di conservazione non lineari. Un risultato principale, illustrato nella sezione 3, è la formulazione di un’espressione analitica esatta per il flusso EP diretto verso l’alto, integrato nel tempo al confine inferiore, che è valida nel limite lineare per un vortice barotropico. Questa espressione si compone di due parti: la prima può essere interpretata attraverso il teorema di Charney-Drazin applicato al vortice (Charney e Drazin, 1961), rappresentando l’eccitazione di un insieme di onde propaganti verso l’alto. La seconda componente riguarda l’eccitazione di una modalità barotropica. Significativamente, il flusso EP al confine inferiore risulta dipendere dall’intera cronologia temporale della forzatura, ovvero sia dall’ampiezza istantanea della forzatura sia dallo stato corrente del vortice stesso. I risultati analitici vengono confermati attraverso un modello numerico lineare nella sezione 3, e la loro pertinenza rispetto alla realtà atmosferica viene dimostrata esaminando l’evoluzione completamente non lineare e tridimensionale in un modello numerico ad alta risoluzione nella sezione 4. Le rappresentazioni tridimensionali del vortice permettono di visualizzare le conseguenze fisiche di differenti tipi di forzature. In particolare, si mostra come una forzatura applicata vicino alla frequenza di risonanza della modalità barotropica possa causare la divisione del vortice, anche a livelli di forzatura relativamente bassi. Una simulazione numerica di tale divisione del vortice, descritta come un “riscaldamento improvviso barotropico”, viene approfondita nei dettagli. La sezione 6 presenta le nostre conclusioni.
2. Modello di Vortice Quasi-Geostrofico sul Piano f: Formulazione e Contesto
a. Formulazione Analitica
Il modello di vortice sul piano f che esamineremo è stato originariamente descritto da Dritschel e Saravanan nel 1994, e successivamente esplorato in dettaglio anche da Fyfe e Wang nel 1997, Waugh e Dritschel nel 1999, e Wang e Fyfe nel 2000. Nella sua forma più estesa, il vortice a un certo livello verticale viene rappresentato da una zona S(z) caratterizzata da una vorticità potenziale quasi-geostrofica (PV) eccezionalmente alta rispetto a un valore di fondo uniforme al di fuori di S(z). Qui, f indica il parametro di Coriolis e b una vorticità costante che può essere utilizzata per aggiungere una rotazione del flusso come se fosse un corpo solido.
Questa distribuzione di PV serve per calcolare la funzione di corrente del flusso, e conseguentemente la velocità orizzontale, attraverso l’inversione di un operatore ellittico, considerando specifiche condizioni al limite. Queste condizioni simulano una forza simile a quella topografica sul confine inferiore e sono equivalenti a impostare a zero la velocità verticale in coordinate di pressione su una superficie materiale. White nel 1978 ha discusso approfonditamente questa condizione di confine topografico, dove la velocità verticale fisica è fissata a zero sulla superficie materiale. Il campo di altezza di pressione hT generalmente può variare nel tempo, al fine di rappresentare gli effetti di forzature causate da onde planetarie troposferiche transitorie.
Il campo di vento ottenuto con la procedura di inversione può essere utilizzato per muovere il bordo del vortice. Definendo il bordo del vortice in coordinate polari cilindriche (r, φ, z) in una posizione specificata, si stabilisce che il vettore velocità in quel punto rimanga costante nel tempo.
Questa descrizione, insieme all’equazione di inversione e alla condizione al confine inferiore, forma un modello dinamico idealizzato di un vortice stratosferico polare. Una semplificazione dinamica significativa del nostro modello è la soppressione della propagazione delle onde di Rossby in direzione radiale, dato che queste onde sono limitate a muoversi lungo il bordo del vortice, definito da un unico contorno. Di conseguenza, la propagazione è possibile solo verticalmente. Basandosi sull’analisi lineare del flusso medio stratosferico, come illustrato da Karoly e Hoskins nel 1982 e da Harnik e Lindzen nel 2002, si ritiene spesso che la propagazione delle onde di Rossby verso l’equatore sia un fattore importante nella stratosfera. Tuttavia, la zona di mescolamento che circonda il vortice nel cuore dell’inverno è notoriamente molto attiva, suggerendo che esistano solo gradienti molto deboli di vorticità potenziale a sostegno di tale propagazione verso l’equatore. Pertanto, potrebbe essere argomento di discussione, come già fatto da Swanson e colleghi nel 1997 in relazione alla tropopausa extratropicale, che la soppressione della propagazione radiale nel nostro modello offra un’immagine più aderente, piuttosto che meno, alla reale dinamica non lineare della stratosfera invernale.
Un aspetto importante riguarda la scelta della condizione al confine inferiore. Come già menzionato, si utilizza una forzatura simile alla topografia al confine inferiore per modellare le forze dinamiche transitorie causate dalle onde planetarie troposferiche. Fisicamente, il confine inferiore del modello si trova all’altezza della tropopausa. In molti modelli meccanicistici, tuttavia, è l’altezza geopotenziale a essere specificata in questo confine, il che implica l’uso di una funzione differente rispetto a quella utilizzata nel nostro contesto.
Approfondendo il significato di ogni condizione al confine, possiamo avvalerci delle tecniche di inversione della vorticità potenziale per parti. Questa prospettiva suggerisce che il flusso indotto dall’inversione delle anomalie al confine dovrebbe essere associato al flusso che potrebbe essere indotto da anomalie di PV nella troposfera sottostante, qualora fossero rilevate dal modello. Studi precedenti, come quello di Bretherton nel 1966, hanno mostrato che un’anomalia su un confine orizzontale corrisponde a una concentrazione di PV al confine stesso; di conseguenza, il flusso risultante è simile a quello prodotto da un’intensa anomalia di PV di limitata estensione verticale, come quella generata da un’onda di Rossby a livello della tropopausa.
In contrasto, un’anomalia di un’altra funzione al confine produce un’anomalia di PV con una struttura a doppio polo verticale. È noto che le anomalie di PV di grande scala con questa struttura non si verificano comunemente a livello della tropopausa, motivo per cui consideriamo la condizione al confine che utilizziamo come più aderente alla realtà fisica. Tuttavia, è importante riconoscere che i confini inferiori di entrambi i tipi influenzano inevitabilmente la funzione utilizzata per l’inversione dell’equazione di PV nelle loro immediate vicinanze.
La Figura 1 presenta un grafico che illustra la velocità con cui gruppi di onde verticali si spostano nell’atmosfera rispetto alla loro lunghezza d’onda verticale, per le prime quattro onde azimutali. Le quattro diverse linee corrispondono a diversi numeri d’onda azimutali, da 1 a 4, che sono essenzialmente misure di quante creste d’onda si presentano in un cerchio completo intorno al centro del vortice.
Dal grafico emerge che la velocità di gruppo verticale per ciascuna onda raggiunge il suo valore massimo per lunghezze d’onda verticali lunghe. Dopo questo picco, la velocità di gruppo diminuisce man mano che la lunghezza d’onda verticale si accorcia. Inoltre, le onde con un numero d’onda azimutale più basso, come 1 e 2, tendono a muoversi più velocemente rispetto a quelle con un numero d’onda azimutale più alto, come 3 e 4.
Il grafico è basato sui parametri dello studio WD99, che include misure come il raggio del vortice e l’altezza scala dell’atmosfera. Questi parametri sono essenziali per definire le caratteristiche del vortice e la struttura verticale dell’atmosfera, e influenzano la relazione tra la lunghezza d’onda verticale e la velocità di gruppo delle onde come mostrato nel grafico.
b. Relazione di Dispersione e il Teorema di Charney–Drazin
Nel 1999, Waugh e Dritschel, e nel 2000, Wang e Fyfe, hanno introdotto rispettivamente le versioni discretizzate e di Boussinesq della relazione di dispersione lineare per le onde di Rossby, studiando il caso di un vortice barotropico, dove la dipendenza dalla coordinata verticale è assente. Qui, offriamo una breve descrizione di una derivazione simile per la relazione di dispersione continua non-Boussinesq, che serve sia come contesto generale che per applicazioni specifiche nella sezione 3. Basandoci sui lavori precedenti di Waugh e Dritschel e Wang e Fyfe, la condizione cinematica per un vortice quasi circolare è stata semplificata, indicando che la velocità angolare al bordo del vortice rimane costante, e che le componenti della velocità, azimutale e radiale, contribuiscono alla velocità totale. Inoltre, seguendo l’esempio di Swanson del 2000, è possibile collegare il cambio di vorticità attraverso il bordo del vortice allo spostamento del bordo stesso.
Per trovare soluzioni di modo normale, osserviamo che la funzione di corrente di un modo normale si esprime attraverso una struttura radiale che dipende dal tipo di funzione di Bessel modificata applicata, che varia tra l’interno e l’esterno del raggio del vortice. Queste funzioni sono determinate in base al numero di onde azimutali, un valore intero, il numero di onde verticali e la frequenza corrispondente.
La relazione di dispersione, che ci permette di comprendere l’interazione tra diverse frequenze e lunghezze d’onda all’interno del sistema, è derivata da questa condizione cinematica linearizzata. Tale relazione è cruciale per analizzare la propagazione e l’interazione delle onde all’interno del vortice, basata su parametri specifici come la velocità angolare al margine del vortice e le funzioni di Bessel scelte.
Seguendo Charney e Drazin (1961), la relazione di dispersione può essere riorganizzata per enfatizzare l’intervallo di frequenze di forzatura possibili che portano all’eccitazione di onde che si propagano verticalmente con un numero d’onda verticale reale. Queste risultano essere all’interno di un certo intervallo di velocità di fase, che dipende dal numero di Burger del vortice, un parametro che gioca un ruolo chiave nella determinazione della risposta alla forzatura transitoria.
Il numero di Burger del vortice è definito in relazione al raggio di Rossby, che è il rapporto tra la frequenza di flottabilità e il parametro di Coriolis. Con un numero di Burger tendente a zero, l’intervallo delle frequenze di forzatura possibili si chiude, mentre al limite di Boussinesq, quando il numero di Burger tende a un valore elevato, questo intervallo è al suo massimo, permettendo una maggiore varietà di velocità di fase delle onde che possono eccitare onde verticali.
Per i valori dei parametri stratosferici utilizzati da Waugh e Dritschel nel 1999, il numero di Burger è circa 4/9, e l’intervallo delle velocità di fase che permettono la propagazione verticale, misurato al bordo del vortice, varia per la prima onda e per la seconda, con la velocità azimutale al bordo del vortice che rappresenta il limite superiore di questo intervallo. È interessante notare che ciò significa che le onde stazionarie sono evanescenti negli esperimenti di Waugh e Dritschel, con la propagazione verticale dovuta a onde transitorie con velocità di fase orientate verso est generate durante l’attivazione di una montagna virtuale nel modello.
Un vantaggio dell’uso della relazione di dispersione continua, rispetto allo spettro discretizzato proposto da Waugh e Dritschel nel 1999, è che permette di calcolare la velocità di gruppo verticale per lo spettro delle onde che si propagano verso l’alto. La Figura 1 mostra la velocità di gruppo verticale per i primi quattro numeri d’onda azimutali usando le impostazioni dei parametri del vortice di Waugh e Dritschel (LR = 900 km, R = 3LR, H = 6.14 km, ecc.). Si nota che la massima velocità di gruppo verticale, intorno ai 5.5 km al giorno, è circa uguale per la prima e la seconda onda, e si verifica per lunghezze d’onda verticali molto lunghe (da 54 a 84 km).
Un punto importante che sarà ulteriormente enfatizzato nella sezione 3 è che i modi normali che si propagano verticalmente, definiti qui come lo spettro di Charney-Drazin, non formano un insieme completo. Oltre a questo spettro, esiste una modalità barotropica senza dipendenza verticale. La frequenza di questa modalità è distinta dall’intervallo di frequenze di Charney-Drazin, supponendo che l’atmosfera sia comprimibile (a differenza del modello Boussinesq, dove il numero di Burger tende a un valore elevato). Nelle impostazioni dei parametri di Waugh e Dritschel nel 1999, la frequenza di questa modalità corrisponde a velocità di fase al bordo del vortice di circa 19.6 m/s sia per la prima che per la seconda onda. Nelle sezioni 3 e 4 dimostreremo che in un’atmosfera comprimibile realistica, la modalità barotropica svolge un ruolo significativo nella risposta dinamica del vortice alla forzatura transitoria.
Nel 1994, Dritschel e Saravanan hanno elaborato una relazione per la conservazione del pseudomomento angolare non lineare per il modello generale del vortice sul piano f, basandosi sulla conservazione dell’impulso angolare totale. Sottraendo l’impulso angolare del vortice non perturbato e considerando specificatamente la situazione a un’altitudine z costante (un’analisi ulteriormente approfondita anche da Wang e Fyfe nel 2000), hanno derivato una relazione che descrive la conservazione dell’attività delle onde.
Questa relazione interpreta una specifica attività d’onda e il suo flusso verticale. È importante notare che l’equivalenza nell’ultima parte della relazione è valida solo quando il vortice non si trova spostato sopra il polo, ovvero quando la posizione è ben definita. Questo flusso verticale è riconosciuto come l’integrale orizzontale della componente verticale del flusso di Eliassen-Palm per questo modello, come evidenziato da precedenti studi (per esempio, Edmon e collaboratori nel 1980).
Come hanno dimostrato Wang e Fyfe nel 2000 studiando il caso Boussinesq, un’onda che si propaga verticalmente e monocromatica risponde a una specifica condizione di velocità di gruppo. Una spiegazione dettagliata di questa relazione, che estende l’analisi di Wang e Fyfe, è inclusa nell’appendice.
Definendo A come l’integrale verticale di A(z, t), si scopre che il tasso di variazione di A è proporzionale al flusso di Eliassen-Palm (EP), aggregato lungo il confine inferiore. Un’altra grandezza dinamica correlata è il momento angolare medio azimutale, calcolato come la media azimutale del prodotto tra raggio e velocità. L’integrazione dell’equazione dell’impulso angolare per parti mostra che la somma del pseudomomento angolare e del momento angolare rimane costante, anche sotto l’influenza di forze topografiche dipendenti dal tempo al confine inferiore. Di conseguenza, un flusso EP positivo al confine inferiore contribuisce a trasferire il momento angolare al pseudomomento angolare, e il tasso di cambiamento del momento angolare è quindi collegato al flusso EP al confine inferiore.
Poiché il flusso EP al confine inferiore è determinante per lo sviluppo del vortice, ovvero per l’evoluzione di A e del momento angolare, comprendere teoricamente come esso dipenda dai dettagli della forzatura transitoria al confine inferiore è fondamentale per la dinamica del sistema. Nella sezione 3, sviluppiamo un’espressione analitica per il flusso EP al confine inferiore, integrato nel tempo, in condizioni di onda lineare per un vortice barotropico sottoposto a un impulso temporale arbitrario. Nella sezione 4, poi, confrontiamo questa previsione con i risultati di simulazioni numeriche non lineari del modello del vortice.
3. Flusso di Eliassen–Palm al Limite Inferiore
a. Forzamento con Dipendenza Temporale Generale
Per semplificare il calcolo del flusso di Eliassen–Palm (EP) integrato nel tempo al limite inferiore F in un’approssimazione lineare, si assume che il vortice sia sottoposto a un impulso di forzamento finito al limite inferiore. Questo impulso è descritto come una funzione che varia nel tempo.
Nello sviluppo dell’approccio matematico, è utile considerare la funzione di evoluzione temporale come una somma delle sue componenti di Fourier, che rappresentano diverse frequenze.
Un modello più complesso di forzamento al limite inferiore potrebbe includere la sommatoria su diversi numeri d’onda azimutali e l’integrazione su diverse scale nella direzione radiale usando una trasformazione basata sulle funzioni di Bessel. In questo modello, il numero d’onda radiale gioca un ruolo significativo nella descrizione della geometria del sistema.
Per analizzare il flusso EP, è utile distinguere tra i componenti topografico e di risposta del flusso. Questi sono definiti come segue:
- Il componente topografico soddisfa la condizione al limite inferiore ma mantiene una vorticità potenziale zero in tutto l’interno.
- Il componente di risposta soddisfa una diversa condizione al limite inferiore e possiede una distribuzione di vorticità potenziale nell’interno che corrisponde a quella del vortice in determinate condizioni.
Questa separazione permette di descrivere la dinamica del flusso in termini di un’equazione di moto forzato al limite del vortice, dove la velocità del flusso è derivata dalla funzione di corrente corrispondente.
Il componente topografico del flusso può essere paragonato a quello che nella teoria di Tung e Lindzen (1979a,b) e Plumb (1981) viene descritto come “onda stazionaria forzata”. Tuttavia, il trattamento matematico utilizzato qui differisce leggermente.
La funzione di corrente topografica si ottiene invertendo le condizioni per una vorticità potenziale nulla. Questo processo specifica la configurazione della funzione.
Quando si utilizza questa configurazione per influenzare un’altra equazione, risulta utile esprimerla in termini dei modi normali del problema non forzato, che rispettano una condizione omogenea al limite inferiore. Implementando una trasformazione di Fourier adeguata, si sviluppa una formula che include questi modi normali.
È importante sottolineare la presenza di una componente di modo barotropico nella trasformazione di Fourier, identificabile come il primo termine tra le parentesi graffe. Questa componente non dipende dall’asse z e stimola la risposta del modo barotropico, che sarà analizzata più avanti.
La rappresentazione della funzione di corrente topografica ci permette di calcolare il campo di disturbo della risposta basandoci su una specifica formula che include diversi termini e trasformazioni. Questo metodo di calcolo rivela come il sistema risponde a diversi stimoli nel tempo.
L’analisi del comportamento asintotico di un certo integrale per limiti temporali estesi è possibile mediante l’uso di metodi complessi standard, a condizione che la trasformazione di Fourier della topografia soddisfi certe condizioni di analiticità. Perché l’integrale converga, è essenziale che il forzamento del sistema diminuisca progressivamente con il tempo.
La causalità è garantita se la risposta mantiene una specifica relazione che include una frequenza di modo barotropico e una relazione di dispersione stabilita in una sezione precedente del testo. Questi dettagli matematici aiutano a prevedere e descrivere come il sistema reagisce agli stimoli, considerando specifici modi di vibrazione e interazioni tra le varie componenti del sistema.
L’ortogonalità dello spettro dei modi verticali, inclusa quella del modo barotropico, può essere utilizzata per calcolare l’attività ondulatoria totale al limite di un tempo esteso, integrando un certo valore rispetto alla variabile z. Considerando che il flusso di Eliassen-Palm integrato nel tempo al limite inferiore è correlato al cambiamento del momento angolare medio azimutale, ne deriva un’espressione specifica per questo flusso.
Questo flusso si divide in due parti: la prima contribuisce all’eccitazione del modo barotropico, mentre la seconda stimola le onde nel contesto dello spettro di propagazione ascendente di Charney–Drazin. L’applicabilità di questa formula è legata a un forzamento topografico che dipende dal tempo.
Un aspetto cruciale è che il flusso è nullo ogni volta che una particolare condizione sulle funzioni di corrente al limite inferiore è soddisfatta, permettendo così di sfruttare l’espressione per ottenere risultati precisi attraverso una trasformazione matematica che sposta le singolarità nel piano complesso, mantenendo il flusso coerente con il suo azzeramento nel tempo avanzato.
Questa analisi fornisce un’espressione per il comportamento a lungo termine del bordo del vortice, elaborando come evolverà il flusso di Eliassen-Palm al limite inferiore. Il flusso integrato fino a un tempo fisso può essere calcolato modificando un valore dell’espressione in base alla storia del forzamento fino a quel momento. Questo processo determina il flusso al limite inferiore tramite una semplice derivazione rispetto al tempo.
Un punto fondamentale di queste formule è che la loro non linearità rispetto al forzamento al limite inferiore implica che il flusso non sia direttamente proporzionale alla funzione che descrive l’evoluzione del forzamento, ma includa anche termini che dipendono dalla storia del forzamento fino a quel momento. Pertanto, in questo contesto lineare, il flusso non può essere considerato come determinato istantaneamente dal solo forzamento, ma dipende piuttosto dall’interazione tra il forzamento e lo stato del vortice, il quale a sua volta è influenzato dalla storia temporale del forzamento.
b. Forzamento Impulsivo
Per comprendere la risposta lineare del vortice, può essere utile considerare un tipo di forzamento topografico impulsivo. In questa situazione, il forzamento non favorisce nessuna frequenza specifica. Di conseguenza, la reazione del vortice a un tale forzamento offre una misura preziosa delle grandezze relative, in termini di pseudo-momento, tra le risposte del modo barotropico e quelle dello spettro di Charney-Drazin. Questo approccio permette anche di confrontare in modo oggettivo la risposta del vortice ai forzamenti a diverse frequenze entro i limiti definiti da Charney-Drazin.
Esaminando più a fondo lo spettro di Charney-Drazin, notiamo che la relativa espressione può essere alternativamente rappresentata come una somma integrata su diverse frequenze. Questa rappresenta il contributo di ogni frequenza sia all’attività ondulatoria finale sia al cambiamento del momento angolare medio azimutale del vortice. Esprimendo la formula in questo modo, diventa anche chiaro che un forzamento transitorio su frequenze esterne all’intervallo di Charney-Drazin e lontane dalla frequenza barotropica non induce l’attivazione dell’attività delle onde di Rossby nel vortice.
La Figura 2 illustra i risultati per i numeri d’onda zonali k = 1, 2, 3 e 4, valutati a due diverse scale di forzamento lR, che rappresentano il forzamento a “scala del vortice” e a “scala emisferica” (approfondito anche nella sezione 4). Il forzamento a scala del vortice (lR = 2.427) prende il nome dal fatto che per k = 2 l’ampiezza massima del forzamento topografico si verifica a una distanza (3398 km) simile al raggio del vortice (2700 km). Invece, il forzamento a scala emisferica (lR = 1.162) raggiunge l’ampiezza massima a 7214 km, sempre per k = 2. Questi parametri vorticosi sono gli stessi del modello WD99.
Sull’asse delle frequenze sono rappresentate anche le frequenze barotropiche per k = 1, 2, 3 e 4. È interessante notare che, per il forzamento a scala del vortice e un forzamento impulsivo di magnitudo fissa, la maggiore eccitazione del vortice si ottiene per il numero d’onda azimutale k = 2, con una frequenza di forzamento molto più vicina al limite inferiore piuttosto che a quello superiore della gamma di Charney-Drazin. La risposta del vortice, in termini di pseudo-momento angolare, diminuisce rapidamente all’aumentare del numero d’onda.
Per il forzamento a scala emisferica, il numero d’onda azimutale 1 produce la risposta predominante, significativamente maggiore rispetto alla risposta indotta dal forzamento a scala del vortice. Ciò accade nonostante l’altezza del forzamento a scala emisferica sia notevolmente inferiore al bordo del vortice, anche se l’ampiezza topografica massima rimane identica in ogni caso. Pertanto, le onde di Rossby con numeri d’onda azimutali bassi sono preferenzialmente eccitate da forzamenti con una scala radiale paragonabile o superiore al raggio del vortice.
Una questione rilevante riguarda le dimensioni relative delle risposte barotropiche e di quelle del modello di Charney-Drazin. Definendo un rapporto, R, come il pseudo-momento angolare impartito al modo barotropico rispetto a quello diretto verso lo spettro di Charney-Drazin, emerge che, nel contesto di un forzamento impulsivo, questo rapporto dipende esclusivamente dalla scala relativa del forzamento al confine inferiore rispetto al raggio di Rossby, espresso attraverso un numero adimensionale. È interessante notare che R non varia in base al numero d’onda azimutale k, né dipende da altri dettagli specifici del vortice.
Per il forzamento a scala del vortice e a scala emisferica, i valori di R sono approssimativamente 9.35 e 76.00, rispettivamente, entrambi significativamente superiori a uno. Questo suggerisce che, in presenza di un forzamento transitorio su larga scala che include una vasta gamma di frequenze, ci si aspetterebbe che la maggior parte del contributo al flusso di Eliassen-Palm al confine inferiore provenga dal modo barotropico. Questo riflette l’importante impatto del modo barotropico nel modellare la risposta complessiva del sistema a vari tipi di forzamento.
La Figura 2 presenta due grafici che illustrano come il forzamento topografico al limite inferiore dell’atmosfera influisca sul trasporto di energia tramite le onde, noto come flusso di Eliassen-Palm (EP), per diversi modelli di movimento dell’aria rappresentati dai numeri d’onda azimutali.
Nel primo grafico (A), il focus è sul forzamento che imita la scala di un vortice, con curve diverse che mostrano la risposta per numeri d’onda da 1 a 4. Ogni linea indica quanto efficacemente una certa velocità angolare di forzamento, ovvero la velocità con cui il forzamento varia nel tempo, contribuisce al flusso di EP. I punti marcati sull’asse orizzontale corrispondono alle frequenze speciali a cui il vortice risponde in modo più intenso, detto risposta barotropica, per ciascun numero d’onda.
Nel secondo grafico (B), vediamo la situazione per il forzamento a scala emisferica, più grande del primo caso. Qui, la curva per il numero d’onda 1 mostra una risposta dominante, suggerendo che il forzamento su questa grande scala sposta notevolmente l’energia all’interno dell’atmosfera.
In entrambi i grafici, l’asse verticale ci dice l’intensità della risposta del flusso di EP per unità di forzamento, mentre l’asse orizzontale ci informa su come varie velocità angolari di forzamento influenzano questa risposta. I picchi nelle linee ci dicono che determinate velocità angolari di forzamento sono particolarmente efficaci nel generare flusso di EP, ovvero nel trasportare energia attraverso le onde nell’atmosfera. Queste visualizzazioni sono strumenti essenziali per gli scienziati atmosferici, perché mostrano quali modi di movimento dell’aria (numeri d’onda) e frequenze di forzamento sono più importanti per capire come il forzamento al suolo influisce sulla dinamica dell’atmosfera nel suo complesso.
La Forzatura a Frequenza Fissa: Il Problema dell’Attivazione
Un approccio diverso rispetto alla forzatura impulsiva descritta precedentemente è quello di applicare una forzatura a una frequenza fissa, iniziando dal momento t=0. Tung e Lindzen nel 1979 si sono concentrati sullo studio di questa forzatura alla frequenza delle onde stazionarie nel contesto di un canale atmosferico. Un’analisi simile può essere applicata al caso di un vortice tridimensionale, utilizzando un’equazione specifica in combinazione con un’altra per calcolare l’effetto di una forzatura applicata al limite inferiore, che si attiva al tempo zero e prosegue poi periodicamente a una frequenza fissa.
In particolare, quando si impone una forzatura di ampiezza costante a una frequenza fissa a partire dal tempo zero, possiamo derivare una formula per descrivere l’evoluzione del flusso EP integrato fino al tempo t. Un caso di particolare interesse è quando la modalità barotropica viene stimolata in modo risonante, ossia quando la frequenza di forzatura coincide con la frequenza naturale del sistema. In questa situazione, il flusso EP integrato mostra che il momento angolare pseudomomentum associato alla modalità barotropica aumenta quadraticamente nel tempo, il che implica che l’ampiezza dell’onda barotropica cresce linearmente nel tempo se stimolata in modo risonante. Questa osservazione è in linea con i risultati di Tung e Lindzen, che indicano come, nel contesto del canale atmosferico, il flusso di calore verso nord associato alla modalità barotropica cresca linearmente nel tempo sotto forzatura risonante.
Il momento angolare pseudomomentum delle onde che si propagano verticalmente, aventi frequenze comprese nello spettro di Charney-Drazin, può essere facilmente limitato. In particolare, per parametri tipici del vortice stratosferico e a tempi superiori a circa 1,5 giorni, il momento angolare è prevalentemente determinato dalla contribuzione della modalità barotropica piuttosto che dalle onde in propagazione. Questi risultati forniscono una comprensione approfondita delle dinamiche delle onde atmosferiche sotto specifiche condizioni di forzatura.Ovviamente, la fase in cui le ampiezze delle onde aumentano linearmente nel tempo non può durare indefinitamente. Per un’analisi completa del problema dell’attivazione a frequenze quasi risonanti è necessario prendere in considerazione gli effetti della non linearità, seguendo l’approccio di Plumb nel 1981. Nel prosieguo, ci concentreremo su impulsi topografici transitori e limitati per verificare l’applicabilità della teoria lineare e la sua rilevanza nel contesto di un modello di vortice completamente non lineare.
Confronto con i Risultati di un Modello Numerico Lineare
Per confermare la validità dei risultati analitici precedentemente descritti e per verificare in che misura questi si applicano a un vortice barotropico di altezza finita, a differenza di uno semi-infinito, abbiamo utilizzato un modello numerico lineare simile a quello discusso nel documento WD99 (la sezione 4a di WD99 fornisce una descrizione dettagliata dell’algoritmo numerico usato). La configurazione del modello lineare è necessariamente diversa da quella analitica perché il dominio è definito con un limite superiore fisso e il vortice è suddiviso in diversi livelli verticali. Inoltre, la condizione al confine superiore assicura l’assenza di variazioni verticali in quel punto.
Il modello lineare consente di determinare un insieme discreto di modi strutturali verticali e le rispettive frequenze caratteristiche. Per il vortice barotropico, la frequenza più bassa corrisponde a quella del modo barotropico, mentre le altre frequenze sono associate ai numeri d’onda verticali secondo le frequenze di Charney-Drazin.
L’espressione per il calcolo del flusso viene quindi sostituita da una somma. Questa formula risulta precisa solo per un vortice di altezza finita, purché l’altezza sia abbastanza estesa da soddisfare certe condizioni matematiche, il che si verifica per una forzatura topografica su scala planetaria o inferiore, come nel caso qui considerato, dove l’altezza è 72 km.
Per verificare la validità delle previsioni analitiche, abbiamo sottoposto il modello numerico lineare a una forzatura che segue una curva gaussiana nel tempo e che è caratterizzata da una velocità angolare costante. Questo parametro indica il periodo durante il quale la forzatura sul confine inferiore si intensifica e poi diminuisce. Questa forzatura topografica viene espressa in termini specifici.
Abbiamo integrato il modello lineare in un intervallo temporale che va da -10 a 10 giorni, impostando 200 passaggi al giorno e utilizzando parametri specifici per una forzatura su scala di vortice, con un periodo di 2 giorni. Abbiamo preso in considerazione quattro diverse velocità angolari per la forzatura topografica, ognuna corrispondente a differenti velocità azimutali al margine del vortice.
Utilizzando una risoluzione di 120, la stessa del modello numerico non lineare che descriveremo successivamente, siamo riusciti a ottenere la frequenza esatta per i primi cinque modi verticali con un’accuratezza dello 0,5%. Questa precisione è notevolmente migliorata impiegando una risoluzione verticale superiore.
La figura 3 offre un confronto tra gli spettri di pseudomomento adimensionali reali e quelli previsti per i modi verticali in propagazione ascendente. I punti discreti visualizzano l’ampiezza dei risultati ottenuti dal modello lineare, mentre le curve rappresentano le previsioni teoriche.
Secondo la relazione di dispersione considerata, ci si potrebbe aspettare che una forzatura concentrata su frequenze vicino al limite superiore dell’intervallo di Charney–Drazin stimoli principalmente le onde corte, mentre una forzatura su frequenze più basse favorisca principalmente l’eccitazione di onde lunghe. La risposta massima in termini di pseudomomento si prevede inoltre quando la forzatura avviene a frequenze che corrispondono al picco della curva visualizzata nel grafico 2a.
Questo è esattamente quanto osservato: l’esperimento con la frequenza più alta (rappresentato con diamanti) ha generato uno spettro dominato da onde relativamente corte; quello con una frequenza intermedia (rappresentato con quadrati) ha suscitato la risposta di ampiezza maggiore; mentre l’esperimento con una frequenza più bassa (rappresentato con triangoli) ha stimolato onde più lunghe ma con ampiezze inferiori. Nell’ultimo esperimento (rappresentato con stelle), con una frequenza molto bassa, si è osservata scarsa eccitazione dello spettro di propagazione verso l’alto.
Alla fine di ogni calcolo, il momento angolare pseudomomentum della modalità barotropica ha mostrato una concordanza con le previsioni fino allo 0,5% di accuratezza in tutti i casi esaminati. Il rapporto tra il pseudomomentum barotropico finale e il pseudomomentum totale ha mostrato variazioni significative nei quattro esperimenti lineari condotti.
La Figura 3 mostra come le diverse frequenze di forzatura influenzano l’eccitazione delle onde verticali nell’atmosfera, secondo un modello teorico lineare. I simboli nel grafico rappresentano le intensità misurate del movimento ondulatorio rispetto alla loro estensione verticale, con ogni tipo di simbolo che corrisponde a una diversa frequenza di forzatura.
Le stelle indicano una forzatura a bassa frequenza, che risulta nell’eccitazione di onde verticali lunghe e meno intense. Man mano che ci spostiamo verso i triangoli e i quadrati, notiamo un incremento nell’intensità delle onde, suggerendo che queste frequenze di forzatura intermedie sono più efficaci nell’eccitare onde di estensione verticale media. Infine, i diamanti segnalano una forzatura ad alta frequenza, che tende a eccitare onde verticali più corte e più intense.
Il grafico visualizza distinti picchi che riflettono l’intensità massima raggiunta dalle onde per determinati numeri d’onda verticali, evidenziando la correlazione diretta tra la frequenza di forzatura e le caratteristiche delle onde eccitate. Questa rappresentazione grafica aiuta a comprendere come una forzatura esterna, come quella generata da variazioni del terreno o altri fattori topografici, possa influenzare i movimenti ondulatori verticali nell’atmosfera.
4 Risultati del modello non lineare
a. Formulazione del modello numerico non lineare
Questo documento descrive i risultati ottenuti da una serie di integrazioni effettuate con un modello numerico non lineare di un vortice su piano f. Il modello sfrutta l’algoritmo semi-Lagrangiano di advezione del contorno (CASL) per trattare specifiche equazioni in un ambiente cilindrico circolare, rispettando una condizione al contorno inferiore, una al limite superiore dove il valore è fissato a zero all’altezza D, e una condizione di assenza di flusso normale sulla parete esterna. I dettagli completi sono riportati in uno studio di Macaskill e colleghi del 2003.
Il modello adottato è simile a quello descritto da Scott e altri nel 2004, ma con alcune variazioni: la dimensione verticale del dominio è stata definita come 12H (73,68 km), sono stati impiegati 120 livelli nel modello, e la dimensione radiale è stata fissata a 30LR (10R). La rappresentazione del vortice a ogni livello avviene tramite un contorno circolare unico, composto da punti o nodi discreti, con una densità iniziale di 51 nodi per contorno, salvo indicazioni contrarie.
La funzione di corrente viene calcolata invertendo i valori di PV su una griglia di 96 punti radiali e 192 punti azimutali, anche se una griglia con densità quattro volte superiore viene utilizzata per mantenere il PV durante le fasi di integrazione. La presenza di un bordo esterno al cilindro impone limitazioni sulla scala orizzontale dell’impulso sul confine inferiore, come discusso nella sezione 3. Per mantenere coerenza con l’analisi di quella sezione nel contesto del cilindro, è necessario che l’impulso topografico al confine inferiore si annulli presso il bordo esterno. Ciò restringe le possibili scelte per il valore di l. Con un numero d’onda azimutale k = 2, abbiamo optato per lR = 1,162 per un forzamento a scala emisferica e lR = 2,427 per un forzamento a scala del vortice, assicurando così che il terzo e il settimo zero di J2 coincidano con il confine esterno.
b. Contesto e impostazione sperimentale
La teoria lineare suggerisce che l’ampiezza di un’onda che si propaga verso l’alto aumenti esponenzialmente con l’altezza. Se si considera un impulso iniziale di attività ondulatoria localizzato su un vortice semi-infinito, indipendentemente dalla sua piccola ampiezza iniziale, le onde raggiungeranno ad alte altitudini un’ampiezza comparabile al raggio del vortice R, rendendo rilevante la non linearità. Di conseguenza, la teoria lineare anticipa le proprie limitazioni e solleva interrogativi sulla sua applicabilità in contesti non lineari. Tuttavia, è ragionevole aspettarsi che in risposta a un impulso di forzamento transitorio, la maggior parte dell’attività ondulatoria A(z, t) sia inizialmente concentrata vicino al confine inferiore. In questa regione, la densità relativamente alta rende il vortice meno suscettibile a deformazioni, quindi la teoria lineare potrebbe spesso risultare accurata. Successivamente, l’attività ondulatoria può essere redistribuita conservativamente in verticale, ma in assenza di dissipazione, l’attività ondulatoria totale A rimane invariata rispetto al suo valore iniziale, anche in presenza di forte non linearità e rottura delle onde. Seguendo questa logica, si prevede che l’espressione per F = A sia accurata anche a livelli moderati di forzamento, una ipotesi che verrà verificata dettagliatamente.
Nel principale insieme di esperimenti numerici utilizzando il modello non lineare, abbiamo impiegato un vortice barotropico con le impostazioni di parametro come specificato nello studio WD99. Il vortice è stato sottoposto a un forzamento transitorio topografico al confine inferiore. Il modello è stato eseguito dal tempo t = -5 a t = 5, in modo che l’ampiezza del forzamento risultasse trascurabile sia all’inizio sia alla fine dell’esperimento, garantendo che lo stato tardivo del modello rappresenti bene lo stato al tempo t = 0. I parametri h, F, l, e sono stati variati indipendentemente in ciascuna esecuzione del modello, con l’ampiezza del forzamento topografico h variabile tra 0.05H a 0.4H, e la frequenza del forzamento oscillante tra F = -0.125k e 0.375k, con incrementi di 0.025k. Il numero d’onda radiale è stato impostato a l = 1.162R-1 per forzamenti a scala emisferica o a 2.427R-1 per forzamenti a scala del vortice, e la scala temporale dell’impulso è stata di 2 o 4 giorni. In quasi tutti gli esperimenti, il numero d’onda azimutale k è stato 2 e si è osservato una rottura delle onde fortemente non lineare e un significativo sviluppo non lineare del vortice a certi livelli, con le sole eccezioni degli esperimenti con h = 0.05H e F = -0.075k.
Risposta del Vortice in Termini di Attività Ondulatoria
I risultati di una serie di esperimenti condotti con un metodo di forzatura specifico, studiato su scala vorticosa e durato due giorni, sono illustrati nella Figura 4. Qui è rappresentata la misura finale di una grandezza, il pseudomomento angolare adimensionale, in funzione delle diverse frequenze di forzatura applicate, distinte per ampiezza. Questi dati sono stati normalizzati per permettere un confronto diretto con le proiezioni teoriche lineari, mostrate nella figura come una curva continua.
Prima di addentrarci nei risultati non lineari, è utile osservare il confronto tra la piena risposta lineare e quella specificamente barotropica, la quale è indicata con una curva tratteggiata. È evidente che, nella maggior parte delle frequenze di forzatura, la componente barotropica predomina nettamente, raggiungendo il picco di risposta proprio alla frequenza del modo barotropico.
In contrasto, la risposta prevista dallo spettro di Charney-Drazin si fa dominante solo vicino a una frequenza specifica e genera una quantità molto minore di pseudomomento angolare quando si opera in questo intervallo di frequenze. Questo aspetto era prevedibile, data l’alta magnitudine associata alla struttura della forzatura al confine inferiore.
Confrontando le previsioni lineari con quelle non lineari per ampiezze di forzatura crescenti nel caso di h pari a 0.05H, emerge che la previsione lineare è generalmente accurata, sebbene ci sia un deficit di circa il 10% nell’ampiezza di forzatura e un leggero spostamento della frequenza di picco verso il basso. Con l’aumentare dell’ampiezza di forzatura, sia lo spostamento della frequenza di picco verso frequenze più basse sia il deficit nell’ampiezza prevista tendono ad aumentare.
La Figura 5 mostra i risultati di esperimenti condotti su scala emisferica e durati due giorni, con un valore di R pari a 1.162. Rispetto al set VS, la differenza principale nelle previsioni lineari è che la risposta barotropica è ancora più dominante, con due curve quasi indistinguibili eccetto che per frequenze vicine a un valore specifico. Questa osservazione è in linea con il valore più alto di R, che è 76. Per la stessa ampiezza di forzatura, l’ampiezza della risposta massima è superiore rispetto al caso VS.
Negli esperimenti non lineari, l’incremento dell’ampiezza di forzatura comporta uno spostamento crescente della risposta verso frequenze di forzatura più basse, similmente a quanto osservato nel set VS di 2 giorni. Tuttavia, a differenza del set VS, l’ampiezza massima prevista della risposta rimane approssimativamente costante a prescindere dall’ampiezza della forzatura. Lo spostamento di frequenza, osservato in entrambi i set di esperimenti, potrebbe essere spiegato con una teoria debolmente non lineare, in quanto la forzatura topografica potrebbe ridurre la velocità angolare media al bordo del vortice, influenzando così la frequenza di risonanza del modo barotropico. La diminuzione dell’ampiezza della risposta con l’incremento dell’ampiezza della forzatura nel set di esperimenti VS potrebbe essere spiegata dalla particolare struttura della forzatura topografica data dalla funzione di Bessel. Con la forzatura VS, c’è una valle situata intorno a 2.12R, quindi, man mano che il vortice si distorce significativamente, i suoi bordi esterni subiscono una forzatura effettiva più debole, mentre con la forzatura HS, non vi è nessuna valle vicino al vortice.
L’effetto dell’ampiezza della forzatura sulla risposta del sistema è evidente analizzando l’evoluzione dell’attività ondulatoria A(z, t) in funzione dell’altezza e del tempo. La teoria della velocità di gruppo indica che l’attività ondulatoria legata alle onde che si propagano verso l’alto dovrebbe irradiarsi verticalmente con una velocità specifica. D’altro canto, l’attività legata alla modalità barotropica diminuisce esponenzialmente con l’aumentare dell’altezza, come si può osservare inserendo la struttura di questa modalità nella relativa equazione.
Nella Figura 6, confrontiamo i risultati di esperimenti di due giorni con una specifica forzatura con quelli ottenuti dal modello lineare con la stessa forzatura. A questa frequenza di forzatura, vengono eccitate sia le onde che si propagano verticalmente sia la modalità barotropica. Osservando la risposta lineare, mostrata nella Figura 6a, notiamo un impulso robusto che si propaga verso l’alto con la velocità di gruppo prevista di circa 5.5 km al giorno e, più avanti nel tempo, diventa evidente anche una componente della risposta che decade verticalmente.
È importante sottolineare che il campo di velocità topografico stimola la propagazione di onde sia verso l’alto che verso il basso, oltre a una risposta barotropica. Ciò spiega i modelli di interferenza osservati in A(z, t) che emergono dopo il termine della forzatura topografica.
Gli esperimenti non lineari a bassa ampiezza si comportano in modo molto simile a quelli lineari, tranne per il fatto che l’attività ondulatoria non riesce a propagarsi oltre le altezze in cui A(z, t) diventa comparabile al raggio del vortice. Questo indica che è probabile la rottura dell’onda non lineare e il successivo collasso del vortice. Negli esperimenti con forzatura più intensa, le prove di propagazione verso l’alto sono meno evidenti, con un assorbimento dell’attività ondulatoria che si verifica a quote molto più basse. In particolare, la risposta mostrata nella Figura 6d appare quasi esclusivamente barotropica.
la Figura 4 illustra in modo grafico come un sistema reagisce a stimoli esterni di intensità variabile nel tempo. Immagina che la figura rappresenti un’orchestra dove la forzatura è il direttore d’orchestra che dà il ritmo, e l’attività ondulatoria totale è la musica prodotta, misurabile in termini di intensità e complessità.
La linea solida è come il nostro ascolto ideale della melodia, in base a ciò che ci aspettiamo teoricamente quando il direttore dà un certo ritmo. I simboli come quadrati, cerchi, triangoli e stelle sono come varie esecuzioni dell’orchestra, con strumenti che suonano a intensità diverse, rappresentate dalle varie “altezze” (h). Queste intensità vanno da un sussurro leggero (0.05) a un tono pieno e forte (0.4).
Il numero di onda azimutale “k” è come il tipo di ritmo usato dal direttore d’orchestra, mentre la forzatura VS fa riferimento a un particolare stile di direzione, in questo caso definito da un valore specifico.
Quando l’orchestra risponde al direttore, vediamo che c’è un punto in cui la musica raggiunge il suo culmine, il suo picco di intensità, che possiamo osservare come picchi nell’attività ondulatoria nel grafico. Questo è quando l’orchestra e il direttore sono in perfetta sintonia.
L’ingrandimento in alto a destra ci consente di concentrarci su un particolare segmento della musica dove il ritmo si fa più veloce e il suono più sottile, un’area definita dalla teoria di Charney-Drazin. La linea tratteggiata ci mostra come cambierebbe la nostra percezione della melodia se l’orchestra suonasse una tonalità più piatta, senza variazioni di altezza, simile a una singola nota barotropica.
I diamanti pieni sono come marcatori che ci rimandano a un’altra parte della performance, discussa più in dettaglio in un’altra figura, suggerendo che ci sono collegamenti e armonie nascoste da esplorare.
Quindi, in poche parole, la Figura 4 è una mappa visiva che ci mostra come il sistema – la nostra orchestra metaforica – reagisce in modi complessi e variati alle diverse intensità di stimoli esterni, offrendoci uno spaccato della sua dinamica interna.
la Figura 5 ci presenta un’analisi dettagliata che segue la stessa linea della Figura 4, ma questa volta ci concentriamo su un tipo diverso di forzatura chiamata HS, la cui caratteristica specifica è indicata dal valore lR pari a 1.162. Immagina questo come una misura della forza con cui il direttore d’orchestra, la forzatura HS in questo caso, guida l’orchestra.
La linea continua rappresenta ancora la nostra aspettativa teorica, il modello ideale di come l’attività ondulatoria dovrebbe comportarsi in risposta alla guida del direttore. I diversi simboli distribuiti lungo il grafico rappresentano la realtà sperimentale di come l’orchestra, o il sistema, ha effettivamente reagito a queste istruzioni sotto varie intensità di comando, indicate dalle diverse “altezze” di forzatura (h).
Sulle verticale vediamo l’attività ondulatoria totale, una sorta di misura della quantità totale di “musica” generata dall’orchestra, mentre l’asse orizzontale ci mostra la frequenza del “battito” che il direttore impone. I picchi che noti nel grafico sono momenti in cui l’orchestra risuona particolarmente bene, creando una musica che riecheggia con maggiore intensità all’interno del sistema.
L’insetto che si trova nel grafico è come uno zoom su una parte particolare del concerto, mettendo a fuoco l’intervallo in cui il battito accelera e l’orchestra risponde in modo più sottile e definito, rientrante nell’intervallo teorico di Charney-Drazin.
In conclusione, questa figura ci fa vedere in che modo la risposta del sistema varia al cambiare del ritmo imposto. I risultati sperimentali ci mostrano come alcune frequenze di comando creino una risposta più forte o più debole rispetto a ciò che ci aspettavamo, fornendo uno spaccato interessante della dinamica interna del nostro sistema-orchestra e della guida del suo direttore.
Evoluzione nel Tempo della Reazione del Vortice
Analizziamo come il vortice risponde a stimoli di varie frequenze, mantenendo costante l’intensità dello stimolo e altri parametri. La Figura 7 mostra i risultati di esperimenti in cui l’intensità dello stimolo è stata impostata a un livello medio e la durata è stata di due giorni. In questa figura, ogni serie di pannelli si riferisce a uno stimolo di frequenza differente.
Partendo dalla sinistra, i primi pannelli (A1) a (C1) ci mostrano ciò che succede quando lo stimolo è vicino al limite più alto dell’intervallo considerato, seguito dai pannelli (A2) a (C2) che esaminano un’azione a una frequenza più bassa. Continuando in questa direzione, i pannelli (A3) a (C3) e (A4) a (C4) ci permettono di osservare la risposta del sistema a frequenze via via più basse.
Nella parte superiore di ogni serie di pannelli, vediamo una fotografia del vortice scattata otto giorni dopo che lo stimolo al confine inferiore ha raggiunto il suo picco. I pannelli centrali ci mostrano come si evolve l’attività ondulatoria nel tempo e nello spazio, mentre i pannelli in basso rivelano come cambiano i venti medi nel corso dell’esperimento.
Nel primo caso esaminato, dove la frequenza dello stimolo è quasi al massimo dell’intervallo che ci interessa, le aspettative basate sulla teoria ci dicono che si dovrebbero eccitare onde di breve lunghezza d’onda che si muovono verso l’alto. Questi piccoli vortici possono essere visti distintamente come si avvolgono attorno al bordo del vortice principale, creando una sorta di spirale che, con il passare del tempo, cresce abbastanza da provocare la rottura dell’onda sulla cima del vortice. In base a ciò che sappiamo da un’altra figura non qui presente, queste onde dovrebbero spostarsi verso l’alto a una velocità di circa 4 km al giorno, anche se, guardando più attentamente il pannello (B1), questa stima potrebbe essere un po’ troppo generosa, dato che l’attività ondulatoria sembra muoversi leggermente più lentamente, a una velocità indicata di 3 km al giorno.
Verso la conclusione dell’esperimento, abbiamo notato un rallentamento significativo del vento medio che spiraleggia attorno al vortice, ma questa decelerazione si è verificata solo nella parte superiore del vortice, vicino al suo bordo esterno.
Guardando più da vicino i risultati degli esperimenti con le diverse frequenze di forzatura, secondo le previsioni della teoria lineare, nel caso di una frequenza più bassa ci si aspetterebbe di vedere onde più lunghe e di ampiezza maggiore che si propagano verso l’alto. Le osservazioni tratte dalla Figura 7, in particolare il pannello (A2), confermano proprio questo: onde più lunghe sono state eccitate e hanno provocato un evento di rottura d’onda più pronunciato che ha coinvolto la parte alta del vortice. Queste onde più estese, visibili nel pannello (B2), si muovono più rapidamente (come indicato da una freccia che segnala una velocità di 5 km al giorno) rispetto a quelle più brevi osservate nell’esperimento con la frequenza più alta.
Un ulteriore dettaglio distintivo di questo esperimento, rispetto a quello con la frequenza più alta, è la forma leggermente ellittica assunta alla base del vortice, che poi ritorna quasi perfettamente circolare alla fine dell’esperimento. Questo suggerisce che vi è stata un’attivazione della modalità barotropica del vortice. Tuttavia, ancora una volta, i cambiamenti nel vento medio si manifestano principalmente nella metà superiore del vortice.
Nell’esperimento che ha utilizzato una forzatura con una frequenza specifica, abbiamo visto una risposta più marcata del modo barotropico rispetto a un altro esperimento con una frequenza leggermente più elevata. Nel pannello (A3) della Figura 7, si nota che il vortice è avvolto da un profondo evento di rottura d’onda, in linea con le aspettative di onde lineari più lunghe previste in una figura precedente. A differenza di quanto osservato in un altro pannello, la base del vortice assume una forma decisamente ellittica, suggerendo una più forte risposta barotropica, evidente anche per l’alta eccentricità rilevata alla base del vortice. Nonostante ciò, si può ancora percepire una certa propagazione verso l’alto delle onde, ma l’evoluzione è dominata dal segnale barotropico.
Guardando infine all’esperimento con la forzatura alla frequenza molto bassa, la teoria prevede pochissima eccitazione delle onde che si muovono verso l’alto e un’attivazione più debole del modo barotropico rispetto al caso precedente. I pannelli dalla (A4) alla (C4) della Figura 7 mostrano che il vortice mantiene una forma moderatamente ellittica, ad eccezione delle altitudini estremamente alte, dove le onde che salgono riescono alla fine a diventare abbastanza forti da rompersi. Anche in questo scenario, la firma del modo barotropico è dominante sia nell’evoluzione dell’attività ondulatoria sia nel comportamento dei venti azimutali.
La Figura 6 ci mostra come si comporta un particolare tipo di attività ondulatoria nel corso del tempo e su diverse altezze in una serie di esperimenti. I grafici sono disposti uno sotto l’altro e ognuno rappresenta una condizione sperimentale differente.
Il primo pannello in alto, (a), è il nostro punto di riferimento: ci mostra come ci si aspetterebbe che l’attività ondulatoria si sviluppi in un mondo ideale e lineare, senza complessità aggiunte dalla non linearità. Il tempo scorre lungo l’asse orizzontale, mentre la verticale ci dice a che altezza si sta verificando l’attività ondulatoria. Le linee di contorno che vediamo disegnate su questo pannello illustrano la forza e la posizione dell’attività ondulatoria a vari momenti nel tempo.
Negli altri tre pannelli, (b), (c) e (d), introduciamo la realtà della non linearità e osserviamo come piccole, medie e grandi forzature – indicate rispettivamente dalle diverse intensità “h” – influenzano l’evoluzione dell’attività ondulatoria. Man mano che aumentiamo l’intensità della forzatura, osserviamo cambiamenti più drammatici nella forma e nel movimento di questa attività nel tempo e nello spazio.
Le frecce in questi grafici puntano nella direzione in cui l’attività ondulatoria sembra muoversi e possono anche suggerire la velocità con cui queste onde si propagano verticalmente attraverso il sistema. È interessante notare che un esperimento con un’intensità di forzatura intermedia non è mostrato qui, ma si può trovare nella Figura 7, nel pannello (B2), fornendoci un ulteriore punto di confronto.
In sintesi, questa serie di grafici ci offre una finestra visiva sull’effetto che differenti intensità di forzature hanno sull’attività ondulatoria di un sistema, mostrando come essa cresce, si diffonde e cambia nel corso di un periodo di tempo.
Il Riscaldamento Barotropico Improvviso
Abbiamo esaminato come il vortice risponde a diverse frequenze di stimolo, ma rimane una domanda aperta: che cosa succede quando il vortice è sollecitato in modo risonante alla frequenza del suo modo barotropico? Per esplorare questa situazione, si può allungare il periodo durante il quale la forzatura topografica Gaussiana aumenta e diminuisce, concentrandosi così su un range più limitato di frequenze.
I risultati presentati nella Figura 8 derivano da una serie di esperimenti che impiegano una forzatura HS estesa a 4 giorni. Questi risultati si possono mettere a confronto con quelli degli esperimenti di durata inferiore, di 2 giorni, illustrati nella Figura 5. Quando la forzatura si concentra su un intervallo di frequenze più ristretto, anche le frequenze che attivano efficacemente il modo barotropico sono più limitate.
Come osservato nella Figura 5, quando l’ampiezza della forzatura cresce, anche lo spostamento della frequenza nella risposta massima del vortice aumenta, ed è più marcato rispetto agli esperimenti di 2 giorni. Anche l’ampiezza massima della risposta si discosta dalle aspettative della teoria lineare, una differenza notevole rispetto agli esperimenti di 2 giorni, con un pseudomomento angolare massimo registrato negli esperimenti con la forzatura più intensa che è solo un terzo di quanto la teoria lineare avrebbe predetto.
Questa osservazione non è tuttavia del tutto inaspettata; infatti, è ragionevole aspettarsi che gli effetti della non linearità diventino più rilevanti all’aumentare del periodo di applicazione della forzatura. In sintesi, estendere il tempo di forzatura enfatizza l’influenza della non linearità nel comportamento del vortice.
Gli esperimenti che hanno portato alle reazioni più intense per forzature di 0.2H e 0.4H hanno creato una situazione in cui l’attività ondulatoria del sistema supera di gran lunga l’energia iniziale del vortice, portandoci in un regime fortemente non lineare. La Figura 9 mostra una serie di immagini tratte da uno di questi esperimenti, che si estende per 4 giorni e utilizza una frequenza di forzatura piuttosto bassa. Le immagini catturano il vortice a intervalli temporali successivi al momento di massima forzatura: inizialmente si estende considerevolmente alla base, poi si restringe fino a sembrare pizzicato e, dopo dieci giorni, si separa in due distinti vortici alla base, uniti solo da un fragile ponte di vorticità. Questi due vortici mantengono la loro coesione e, malgrado la perdita di materiale sotto forma di filamenti, continuano a ruotare insieme in modo relativamente stabile.
Descriviamo questo fenomeno di sdoppiamento del vortice come un “riscaldamento improvviso barotropico”, causato principalmente dall’eccitazione risonante del modo barotropico. È interessante notare che non è necessario che il vortice di partenza sia di tipo barotropico per osservare questo fenomeno: un modo barotropico si manifesterà comunque, a prescindere dalle caratteristiche verticali del vortice come la variazione di vorticità, il raggio o la velocità al bordo. Questo fenomeno ha un analogo nell’atmosfera terrestre, a volte descritto come modo di Lamb.
Nel contesto dei nostri esperimenti, eventi simili si verificano anche con forzature di 4 giorni a una più alta intensità e persino in alcuni esperimenti di 2 giorni. Vale la pena sottolineare che un evento di scissione del vortice paragonabile a un riscaldamento improvviso barotropico può verificarsi anche in modelli barotropici a strato singolo se stimolati in modo appropriato, sebbene l’analogia non sia perfetta quando si considerano vortici iniziali con strutture verticali più complesse rispetto a quelle barotropiche qui esaminate.
la Figura 7 ci guida attraverso la complessa danza di un vortice atmosferico sottoposto a forze esterne variabili. In questa serie di esperimenti con una forza di intensità moderata, possiamo vedere come il vortice reagisce a differenti ritmi di forzatura, rappresentati dai numeri vicino a “F” che suggeriscono variazioni nella frequenza del “battito” imposto al vortice.
I pannelli in alto, (A1) e (A2), ci offrono una rappresentazione tridimensionale del vortice otto giorni dopo aver raggiunto il massimo della sollecitazione. Come le immagini in rilievo su una mappa geografica che evidenziano montagne e valli, queste figure ci mostrano la distorsione spaziale del vortice, come se fosse una montagna che si deforma nel tempo.
Scendendo lungo i pannelli, (B1) e (B2), si aprono finestre temporali dell’attività ondulatoria del vortice: queste grafiche sono come registrazioni di un sismografo che cattura come e quando l’energia si muove e si diffonde nel corso dei giorni.
Infine, i pannelli in basso, (C1) e (C2), sono grafici che tracciano le variazioni delle velocità all’interno del vortice, come se stessimo esaminando le velocità di un fiume che scorre a diverse profondità. Queste immagini mostrano l’intensità del “flusso” del vortice a varie altitudini nel tempo, permettendoci di comprendere l’entità e la distribuzione dei cambiamenti subiti dal vortice sotto l’influenza delle forze esterne.
In sintesi, la Figura 7 ci svela con eleganza visiva come il cuore pulsante di un vortice è influenzato e trasformato da differenti ritmi e intensità di forzatura, offrendoci una rappresentazione dinamica e dettagliata della sua evoluzione nel tempo.
questa parte continua a illustrare la dinamica di esperimenti con vortici, ma ora con due differenti frequenze di forzatura più basse rispetto alle precedenti.
Nel pannello (A3), il vortice sembra quasi aver assunto una forma distesa alla base, quasi come se fosse stato tirato verso l’alto e poi rilasciato, mentre nel pannello (A4), il vortice rimane più uniforme e cilindrico, suggerendo una reazione più controllata all’azione di forzatura.
Scendendo ai pannelli (B3) e (B4), ci immergiamo nella coreografia dell’attività ondulatoria del vortice nel tempo: queste immagini catturano il movimento e l’intensità delle onde, tracciando il loro balzo e la loro quiete, visualizzando la danza verticale dell’energia nel corso di diversi giorni.
Infine, i pannelli (C3) e (C4) ci offrono uno sguardo sul comportamento del vento all’interno del vortice, dieci giorni dopo l’applicazione del picco di forzatura. Le linee sottili segnano le varie velocità, dipingendo un quadro della distribuzione delle velocità azimutali che si alterano con l’altezza, come se osservassimo le varie correnti di un oceano atmosferico.
Insieme, questi pannelli compongono un affresco che mostra come i vortici reagiscano in modi sottilmente differenti a stimolazioni più delicate, rispecchiando la complessità e la reattività dei sistemi atmosferici al cambiare delle condizioni esterne.
La Figura 8 ci offre una panoramica dettagliata su come la durata prolungata della forzatura topografica — in questo caso, di quattro giorni — influenzi la risposta di un vortice atmosferico. Con la linea continua, il grafico ci presenta una teoria di base: una previsione di come il vortice dovrebbe reagire se tutto seguisse un comportamento lineare e prevedibile. Poi, attraverso una varietà di simboli, vediamo come il vortice risponde realmente a diversi livelli di forzatura, ognuno rappresentato da un diverso valore di “h”.
I picchi sul grafico rappresentano i momenti in cui il vortice mostra la sua risposta più energica alle diverse frequenze di forzatura applicate. Il punto saliente è il picco marcato con una croce solida etichettato “BTSW”, che segnala un evento specifico: un riscaldamento improvviso barotropico che si verifica quando il vortice è stato sollecitato in risonanza alla frequenza del modo barotropico.
Guardando l’insetto, viene messa in luce una regione specifica del grafico che illustra come la risposta del vortice cambia in maniera più pronunciata man mano che la forzatura diventa più forte. Questo ci mostra che, con una forzatura più prolungata, il sistema tende a diventare più non lineare e le risposte del vortice a varie frequenze diventano più selettive e marcate.
Complessivamente, la Figura 8 ci fornisce una rappresentazione visiva dell’interazione tra la durata della forzatura e l’intensità della reazione del vortice, sottolineando come un’impostazione più mirata e prolungata nel tempo possa portare a fenomeni dinamici significativi come il riscaldamento improvviso barotropico.
5. Discussione e conclusioni
Recenti studi condotti da Kushner e Polvani nel 2005 con un modello di circolazione generale di lunga durata hanno rivelato che un riscaldamento stratosferico improvviso, caratterizzato dalla divisione del vortice polare, può verificarsi esclusivamente a causa degli effetti di onde di Rossby transitorie generate da una troposfera dinamicamente attiva. Nel nostro lavoro, abbiamo impiegato un modello dinamico semplificato di un vortice polare per esplorare sia teoricamente che numericamente le condizioni che potrebbero favorire tale fenomeno. Abbiamo stabilito una connessione teorica tra la modalità di forzatura del confine inferiore, che simula l’effetto della variabilità troposferica, e la reazione del vortice, considerando un vortice barotropico iniziale. Questa teoria, pur essendo applicabile solo in un contesto lineare, fornisce importanti spunti per comprendere i comportamenti non lineari a forti ampiezze di forzatura.
Nel modello da noi utilizzato, il vortice polare è capace di sostenere onde di Rossby che si propagano sia verso l’alto che verso il basso, oltre a una modalità barotropica che non varia con l’altezza. Quando il vortice è sottoposto a una forzatura topografica transitoria di scala orizzontale superiore al raggio di Rossby, prevale l’attivazione della modalità barotropica, che domina il bilancio del pseudomomento angolare. Tuttavia, ciò non esclude un ruolo dinamico significativo per le onde che si propagano verso l’alto: queste, aumentando esponenzialmente in ampiezza con l’altitudine, finiranno per rompersi e dissiparsi, depositando il loro momento angolare alle alte quote, dove diventano preponderanti nel bilancio del momento angolare. A livelli più bassi, invece, prevale la dinamica della modalità barotropica.
Abbiamo inoltre identificato una relazione tra la forzatura del confine inferiore e il flusso di Eliassen–Palm che si evolve nel tempo a tale confine, dimostrando una non linearità evidente. Di conseguenza, il flusso di EP al confine inferiore varia a seconda dell’ampiezza della forzatura imposta e dello stato stesso del vortice in ogni momento specifico.
Un’importante considerazione nell’interpretare le osservazioni è che non è corretto attribuire un picco nel flusso di Eliassen-Palm alla tropopausa esclusivamente alla dinamica della troposfera in quel preciso momento. Piuttosto, tale picco si verifica perché la storia temporale della forzatura troposferica porta il vortice, che può essere allungato o spostato, e la forzatura stessa ad allinearsi in quel momento specifico. Nel caso di una forzatura del tipo onda-2, come in questo studio, una forzatura in fase può stimolare la modalità barotropica, provocando ad esempio un flusso verso l’alto che rende il vortice più uniformemente ellittico. Invece, una forzatura fuori fase può attenuare questa modalità (con un flusso verso il basso), riportando il vortice a una forma più circolare. Studi precedenti, come quelli di O’Neill e Pope nel 1988, hanno già dimostrato comportamenti non lineari del flusso di Eliassen-Palm in esperimenti con equazioni primitive idealizzate, quindi i nostri risultati possono essere visti come una conferma analitica di queste osservazioni, sebbene in un contesto idealizzato.
Il nostro lavoro solleva anche ulteriori considerazioni nell’interpretare il flusso di EP. Frequentemente, come mostrato in letteratura, si fa riferimento a una condizione di velocità di gruppo per giustificare l’interpretazione del flusso come indicativo di onde di Rossby che si propagano sia verticalmente che latitudinalmente. Tuttavia, l’eccitazione della modalità barotropica, che non si propaga verticalmente, genera un flusso verso l’alto che diminuisce esponenzialmente con l’altitudine. È interessante notare che molti studi ajustano proporzionalmente le sezioni trasversali di EP per accentuare i tratti che decadono esponenzialmente. L’attività ondosa delle onde che si propagano verso l’alto dovrebbe rimanere costante in altitudine, almeno in assenza di dissipazione, e quindi non dovrebbe necessitare di alcun ridimensionamento. Nella nostra analisi, una sezione trasversale di EP media nel tempo potrebbe quindi essere spesso dominata dalla firma dell’attivazione della modalità barotropica del vortice. È anche evidente dal nostro modello semplificato che considerare i flussi di momento angolare orizzontale come direttamente correlati alla propagazione latitudinale locale delle onde di Rossby può portare a conclusioni fuorvianti. Nel nostro modello, infatti, non è possibile alcuna propagazione radiale (latitudinale) delle onde di Rossby, poiché sono confinate al bordo del vortice.
Nonostante ciò, durante i nostri esperimenti non lineari si osservano significativi flussi di momento angolare orizzontale. In circostanze dominate da un unico vortice, soltanto il flusso medio orizzontale di Eliassen-Palm mantiene una connessione con la propagazione delle onde di Rossby, limitatamente alla direzione verticale. Se il vortice è costantemente stimolato con un’ampiezza sufficientemente elevata e a una frequenza vicina a quella lineare della modalità barotropica, con un leggero aggiustamento non lineare, si verifica un “riscaldamento stratosferico improvviso barotropico”. Il vortice si divide in due, e ciascuno dei vortici risultanti rimane coerente su più livelli di scala. Per quanto ci risulta, questa è la prima simulazione di un riscaldamento improvviso causato dalla divisione del vortice basato sull’eccitazione resonante di una modalità libera del vortice stesso. L’evoluzione tridimensionale della parte inferiore dei vortici nella nostra simulazione ricorda le rappresentazioni del riscaldamento improvviso di febbraio 1979 nell’emisfero nord. Invece, le visualizzazioni tridimensionali del riscaldamento nel settembre 2002 nell’emisfero sud mostrano che i due vortici finiscono per formare una doppia spirale. Riteniamo che per riprodurre un riscaldamento simile nel nostro modello di vortice semplice, sia necessario introdurre una struttura verticale significativa nello stato di base del vortice.
L’idea che i riscaldamenti improvvisi corrispondano all’eccitazione resonante delle modalità libere dell’atmosfera è stata esplorata in dettaglio, per la prima volta in un modello a canale da Tung e Lindzen. Nel caso in cui il flusso nel canale sia uniforme, hanno messo in luce la possibilità dell’eccitazione resonante della modalità barotropica, similmente a quanto osservato nel nostro modello di vortice. Qui, abbiamo dimostrato che tale eccitazione può portare alla divisione di un vortice, uno scenario che non è possibile nel modello a canale. Il lavoro di Tung e Lindzen è stato poi esteso da Plumb, che ha studiato l’evoluzione debolmente non lineare di onde libere viaggianti sotto una forzatura quasi resonante. Plumb ha notato che la frequenza di forzatura che produceva la risposta massima variava significativamente con l’aumentare della non linearità. I nostri risultati numerici confermano un cambiamento simile nella frequenza di forzatura di picco nel modello di vortice.
Entrambi i ricercatori, insieme a Plumb, hanno anche considerato l’eccitazione resonante di modalità di onde libere propaganti formate da superfici di deviazione nella stratosfera superiore, oltre alla modalità barotropica. Questa idea, discussa dettagliatamente da McIntyre, suggerisce che la presenza di una superficie di deviazione forma una cavità risonante per le onde propaganti. Tuttavia, le basse velocità di gruppo verticali associate alle onde del bordo del vortice e il basso pseudomomento impartito a queste modalità a livelli di forzatura realistici ci portano a concludere che è improbabile che i riscaldamenti che dividono il vortice causati esclusivamente da onde propaganti si verifichino, almeno per il nostro vortice barotropico.
Inoltre, il comportamento della rottura delle onde del vortice cambia inevitabilmente quando si eccitano le modalità di propagazione, portando alla formazione di filamenti anziché alla divisione del vortice. Nel caso della modalità barotropica, tuttavia, si auspica che una teoria analoga a quella di Plumb possa offrire una comprensione più approfondita delle variazioni di frequenza e ampiezza della risposta della modalità barotropica che abbiamo osservato con l’incremento dell’intensità della forzatura. Sarà inoltre interessante determinare se i nostri risultati subiranno modifiche significative nel caso di vortici con una struttura verticale realistica o per vortici modellati con equazioni primitive in geometria sferica. Meriterebbe ulteriori indagini anche la dinamica associata ad altri numeri d’onda, menzionata brevemente nella sezione 3, anche se la non linearità associata alle perturbazioni di onda-1 nel modello utilizzato qui risulta essere piuttosto irrealistica. Infine, ci auguriamo che le idee sviluppate in questo studio possano essere estese per identificare precisamente quali aspetti della meteorologia su scala planetaria di settembre 2002 hanno contribuito al singolare evento di riscaldamento improvviso nell’emisfero sud.
La Figura 9 offre una visione visiva dell’evoluzione di un vortice atmosferico durante un evento di riscaldamento stratosferico improvviso che si caratterizza per il suo comportamento barotropico. La serie di grafici mostra il cambiamento progressivo della forma del vortice attraverso diversi giorni dell’esperimento.
- All’inizio (Giorno 0), ci troviamo di fronte a un vortice che assomiglia a una colonna dritta, quasi come se fosse un cilindro perfetto, il che indica che non ci sono ancora stati cambiamenti significativi a causa della forzatura.
- Dopo quattro giorni (Giorno +4), iniziamo a vedere un’influenza sulla forma del vortice. La sua parte superiore comincia ad allargarsi e deforma leggermente, un indizio che il vortice inizia a rispondere alla forzatura applicata.
- Avanzando al decimo giorno (Giorno +10), la trasformazione è evidente: il vortice mostra due protuberanze o ‘dossi’ che emergono dalla sua cima. È un momento di significativa azione dinamica, indicando che il vortice è nel pieno di una divisione.
- Infine, al sedicesimo giorno (Giorno +16), vediamo una trasformazione radicale: il vortice si è diviso completamente, lasciando dietro di sé una traccia di frammenti e strutture che si avvolgono a spirale. La scena è il culmine dell’evento di riscaldamento, mostrando un vortice che si è diviso in due parti distinte e presenta intense distorsioni.
Ogni grafico ci offre una finestra sui sei livelli di altezza del vortice, che corrispondono a circa 36.84 km dalla base. Questa sequenza illustra come, in meno di tre settimane, un evento dinamico nella stratosfera possa evolvere da una condizione iniziale stabile a una situazione complessa e turbolenta, riflettendo le forze potenti all’opera nell’atmosfera e le loro possibili conseguenze sul clima terrestre.
Ringraziamenti: Gli autori desiderano esprimere la loro gratitudine a Darryn Waugh, Peter Haynes e Lorenzo Polvani, così come ai due revisori anonimi per i loro preziosi commenti sul lavoro e sul manoscritto.
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