Critical Layers
Peter Haynes, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics,
University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge, CB3 0WA, UK.
Nello studio delle onde atmosferiche, è essenziale considerare la loro propagazione su uno stato di fondo costituito da un flusso a taglio. Le onde di Rossby, note anche come onde planetarie, che si spostano dalla troposfera extratropicale verso la stratosfera, sono un esempio pertinente. Qui, lo stato di fondo è rappresentato dal flusso medio longitudinale, che può manifestarsi con venti occidentali che si intensificano con l’altitudine durante l’inverno, oppure con venti occidentali a quote basse che si trasformano in venti orientali a quote più alte durante l’estate.
Un altro caso di interesse è rappresentato dalle onde di gravità interna di piccola scala, generate dall’interazione delle correnti atmosferiche con le montagne, che si propagano verso l’alto attraverso un flusso su larga scala la cui intensità e direzione cambiano con l’altitudine.
Se il flusso di fondo si muove nella direzione x con una velocità U, funzione della coordinata spaziale y, e se le onde hanno una velocità di fase c nella stessa direzione, allora la condizione U(y) = c identifica una linea critica. Questa linea, parallela all’asse x e situata a un valore costante di y, è dove la velocità del flusso corrisponde a quella della fase dell’onda. Quando la variabile spaziale secondaria è l’altezza, si parla di “livello critico”. Se invece U fosse funzione di due coordinate spaziali, y e z, la condizione U(y, z) = 0 definirebbe una superficie critica.
Le teorie convenzionali che descrivono la struttura delle onde presuppongono che queste si propaghino in modo costante e non tengano conto di processi dissipativi o diabatici come l’attrito o il trasferimento radiativo, assumendo inoltre che le onde siano di piccola ampiezza per trascurare i termini non lineari nelle equazioni del moto. Questi approcci portano a formulazioni matematiche semplici, come equazioni differenziali o parziali, per descrivere la struttura spaziale delle onde. Tuttavia, la presenza di una linea critica introduce singolarità nelle equazioni, suggerendo che alcune quantità fisiche possano divergere verso l’infinito.
In contesti fisici, una tale singolarità in un modello matematico segnala che le semplificazioni adottate non sono più valide e che è necessario reintrodurre alcuni processi fisici precedentemente trascurati. Per rimuovere la singolarità associata alla linea critica, è quindi indispensabile considerare uno dei processi trascurati, benché originariamente considerati di minore importanza. Questi processi diventano cruciali in una regione limitata ma finita attorno alla linea critica, rimanendo trascurabili altrove. Questa area ristretta è denominata “strato critico”.
2. Lo Strato Critico dell’Onda di Rossby
2.1 Un Modello Semplice
Tra gli esempi più elementari di singolarità della linea critica e della sua risoluzione in uno strato critico finito, troviamo il modello bidimensionale per la propagazione delle onde di Rossby. Questo utilizza il cosiddetto “piano β“, un metodo matematico per considerare le variazioni del parametro di Coriolis con la latitudine [[questo dettaglio potrebbe essere omesso se già spiegato in un altro articolo]]. Il modello opera all’interno di un sistema di coordinate cartesiane bidimensionali, con l’asse x orientato verso est e l’asse y verso nord.
Nel modello, le componenti della velocità, identificate rispettivamente con u e v, derivano da una funzione di flusso, indicata con ψ(x,y,t), dove ttt rappresenta il tempo. La componente u della velocità è calcolata come il negativo della derivata parziale della funzione di flusso rispetto a y, mentre la componente v come la derivata parziale della funzione di flusso rispetto a x.
Il modello si basa sull’assunzione che, in assenza di fenomeni di dissipazione, la vorticità assoluta del fluido sia conservata nel tempo. Questa vorticità assoluta è composta dalla vorticità relativa del fluido, data dalla differenza tra le derivazioni spaziali delle componenti della velocità lungo le direzioni x e y, aggiunta alla vorticità dovuta alla rotazione della Terra, che aumenta linearmente con la coordinata y. Questa ultima è una costante positiva in un’atmosfera simile a quella terrestre.
Per rendere il modello più realistico, si introduce un termine che rappresenta lo smorzamento lineare della vorticità, simulando così in modo semplificato l’effetto dei processi dissipativi, come l’attrito atmosferico. Questo termine di smorzamento riduce la vorticità nel tempo a un tasso costante, rappresentando una delle possibili modalità per includere la dissipazione nel modello. Anche se né lo smorzamento lineare né altri metodi simili come la diffusione della vorticità rappresentano perfettamente i processi dissipativi reali nell’atmosfera, sono utili per illustrare gli effetti fondamentali della dissipazione all’interno dello strato critico.
Si suppone che, in assenza di onde, il flusso sia orientato nella direzione x con una velocità che dipende dalla variabile y. Le onde sono aggiunte a questo flusso, contribuendo alla funzione di flusso, una sorta di mappa che descrive il movimento del flusso in ogni punto.
Nel modello considerato, le componenti di velocità delle onde sono derivate dalla funzione di flusso. La direzione e l’intensità di queste componenti dipendono dalla variazione della funzione di flusso rispetto alle coordinate spaziali. Se lo smorzamento delle onde è debole, è ragionevole ignorare alcuni effetti minori che descrivono come le onde perdono energia lentamente. Se le onde sono di piccola ampiezza, si possono trascurare anche gli effetti più complessi che sono significativi solo per onde più grandi.
Il modello permette di trattare le onde di diverse lunghezze come se fossero indipendenti l’una dall’altra, poiché le equazioni che descrivono il loro comportamento sono lineari e non cambiano con variazioni lungo la direzione x.
Prendendo in considerazione un’onda specifica, che si propaga costantemente nella direzione x, il modello descrive il movimento di questa onda attraverso una funzione che varia con il tempo e lo spazio. Sostituendo questa descrizione nell’equazione del modello, e ignorando gli effetti minori, si ottiene un’equazione che è fondamentale per comprendere come le onde interagiscono con il flusso.
Questa equazione è cruciale per determinare la stabilità del flusso in presenza di onde. In certi contesti, può mostrare quali configurazioni di flusso e velocità delle onde portano a un comportamento instabile. Se il problema include forze esterne o condizioni al contorno, l’equazione aiuta a descrivere come queste influenzano la struttura delle onde.
Un aspetto chiave del modello è che mostra come le onde possono comportarsi in maniera singolare quando la loro velocità di fase corrisponde esattamente alla velocità del flusso in un dato punto. Questi punti sono detti linee critiche. Se la velocità del flusso varia in modo regolare, esiste al massimo una linea critica. Tuttavia, se la velocità del flusso presenta punti di massimo o minimo, come nel caso di un flusso a getto, potrebbero esserci più linee critiche.
Vicino a una linea critica, la soluzione dell’equazione mostra comportamenti particolari: mentre la componente della velocità lungo la direzione y rimane finita e continua, la derivata seconda della funzione, che rappresenta una componente della vorticità, e la componente della velocità lungo la direzione x mostrano comportamenti singolari, diventando infinite o assumendo valori logaritmici. Questo comportamento è non fisico e suggerisce che il modello non può descrivere adeguatamente la situazione senza ulteriori modifiche.
Più problematico è che questa singolarità implica che non c’è un modo unico per collegare le soluzioni attraverso la linea critica. Di conseguenza, la soluzione unica per l’intero dominio di flusso rimane indefinita, indicando la necessità di una soluzione più raffinata per comprendere completamente la struttura delle onde lungo tutto il flusso.
2.2 Assorbimento e Riflessione
Per analizzare le conseguenze dello strato critico sul comportamento delle onde nel resto del flusso, è utile osservare una particolare configurazione spaziale. Si consideri che le onde siano generate in un punto con un valore di y molto elevato, dove la velocità di fase è nulla, il che significa che le onde sono stazionarie. Si ipotizza inoltre che la velocità del flusso, U(y), sia positiva quando y è maggiore di zero e negativa quando y è minore di zero, stabilendo così una linea critica a y = 0. Si assume anche che la curvatura del flusso non sia eccessivamente marcata, mantenendo positiva la differenza tra il parametro di Coriolis modificato e la curvatura stessa.
In queste condizioni, il modello prevede che il comportamento della funzione che descrive le onde sia oscillatorio per valori di y positivi, indicando la presenza di onde in propagazione, tipico delle onde di Rossby. Per valori di y negativi, la funzione mostra un incremento o decremento esponenziale, e per mantenere coerenza con i principi fisici, si aspetta che questa funzione decresca man mano che y diminuisce, rappresentando così onde evanescenti.
Uno degli aspetti di interesse è la proporzione relativa delle onde che si propagano verso nord rispetto a quelle che si propagano verso sud nella zona tra il punto di generazione delle onde e lo strato critico. Questo rapporto indica il comportamento di assorbimento o riflessione dello strato critico. Se lo strato critico funzionasse come un assorbitore, la regione tra il punto di forzatura delle onde e la linea critica includerebbe solo onde che si propagano verso sud. Se, al contrario, funzionasse come un riflettore, si osserverebbe un contributo di onde che si muovono verso nord. La riflessione potrebbe essere totale o parziale. Potrebbe persino verificarsi una sovra-riflessione, dove il numero di onde che si propagano verso nord supera quelle dirette verso sud, suggerendo che lo strato critico stia attivamente emettendo onde.
Una misura quantitativa utile per la propagazione delle onde è il flusso di quantità di moto, che rappresenta la correlazione tra le componenti di velocità delle onde. Per le onde di Rossby, questo flusso di quantità di moto è positivo per le onde che si propagano verso sud e negativo per quelle che si propagano verso nord. Si nota che questo flusso è costante per valori positivi di y, ad eccezione della linea critica a y = 0. Per valori di y negativi, dove le onde diventano evanescenti, il flusso di quantità di moto si riduce a zero.
Tuttavia, non è possibile determinare il valore del flusso di quantità di moto solo da questo modello. È necessario analizzare ulteriormente la linea critica, trasformandola in uno strato critico finito. Questo permette di valutare il cambiamento del flusso di quantità di moto attraverso questo strato e di stabilire il suo valore nelle regioni dove y è positivo.
La continuità della funzione che descrive le onde attraverso la singolarità della linea critica suggerisce che, quando tale linea viene dettagliata in uno strato critico sottile, la variazione delle velocità delle onde attraverso lo strato è minima. Inoltre, le variazioni rispetto a y sono generalmente più significative rispetto a quelle lungo x a causa della minore estensione dello strato critico.
Dall’analisi, emerge che lo strato critico può comportarsi in diversi modi: può assorbire le onde completamente se vi è una correlazione negativa tra le variazioni di velocità e vorticita dentro lo strato, rifletterle completamente in assenza di correlazione, o addirittura agire come un emettitore netto di onde, amplificando la propagazione verso nord, se la correlazione è positiva.
In conclusione, la mancanza di univocità nella soluzione fornita dal modello, dovuta alla presenza della singolarità della linea critica, rende incerto il comportamento di assorbimento e riflessione dello strato critico. Solo determinando la natura della correlazione tra le variazioni di velocità e vorticita all’interno dello strato critico si possono definire con precisione le caratteristiche di assorbimento e riflessione delle onde.
Origine delle Onde e Flusso di Shear: La Figura 1 illustra la propagazione delle onde di Rossby all’interno di un flusso a taglio U(y) caratterizzato da una linea critica. Le onde sono generate in una regione dove y è positivo, con il flusso orientato verso est, e si propagano verso il punto dove y = 0, il centro della linea critica.
Linea Critica: Al centro del diagramma, a y = 0, troviamo la linea critica dove la velocità del flusso U(y) è zero. Qui, le linee di flusso formano un modello chiuso noto come “occhio di gatto di Kelvin”, che è più evidente quando l’ampiezza delle onde aumenta. Questa configurazione delle linee di flusso segnala la transizione tra due comportamenti dinamici distinti delle onde: propagazione e evanescenza.
Propagazione dell’Onda: Nella parte superiore del diagramma (y > 0), le onde si muovono attivamente verso il basso, verso la linea critica. Questa regione mostra onde in movimento con la loro energia e momento iniziali.
Evanescenza dell’Onda: Al di sotto della linea critica (y < 0), il flusso si inverte diventando negativo (verso ovest) e le onde diventano evanescenti, ovvero cessano di propagarsi e iniziano a decrescere in intensità con y diventando sempre più negativo.
Riflessione e Dissipazione: È possibile che alcune onde vengano riflesse verso la regione di y positivo, ma la quantità precisa di questa riflessione dipende dalla dinamica complessiva all’interno dello strato critico. Se la dissipazione fosse abbastanza forte, influenzerebbe significativamente le dinamiche vicino a y = 0, rendendo le linee di flusso chiuse meno rilevanti e portando a un comportamento prevalentemente lineare e dissipativo delle onde.
In conclusione, la Figura 1 fornisce una rappresentazione schematica della complessa interazione tra onde di Rossby e flusso di shear in presenza di una linea critica, evidenziando come varie dinamiche (propagazione, evanescenza, riflessione, dissipazione) si manifestano in differenti regioni del flusso.
La dinamica del livello critico
La stabilità dinamica all’interno del livello critico dipende fortemente dai parametri specifici del problema in questione. Analizziamo inizialmente gli aspetti che sono stati omessi per semplificare il modello originale. Una supposizione fondamentale del modello è che le onde si propaghino senza cambiamenti nella loro ampiezza, ossia costantemente. Tuttavia, se consideriamo le equazioni del sistema senza dissipazione e senza presupporre un’onda costante, osserviamo che alcuni comportamenti singolari, come un incremento illimitato di certi componenti del sistema, emergono col tempo. Ciò indica che, anche se inizialmente minime, le componenti trascurate diventano rilevanti a lungo termine.
In secondo luogo, dobbiamo considerare il termine che rappresenta la dissipazione nel modello. Analizzando la grandezza di questo termine rispetto a quello dell’avvezione (il movimento portato dall’onda stessa), si nota che non può essere ignorato in prossimità dell’origine. Questo comporta che la dissipazione ha un ruolo significativo nella determinazione dello spessore del livello critico, definito dall’intensità di dissipazione stessa.
Infine, esaminiamo il termine non lineare del sistema. Questo termine è cruciale quando consideriamo equilibri molto stretti e specifici all’interno del modello. La sua importanza si manifesta nel bilanciamento tra il movimento dell’onda e la sua modifica dovuta a effetti non lineari, che determinano lo spessore del livello critico in condizioni non lineari.
Concludendo, la predominanza tra effetti non lineari o dissipativi nel definire la dinamica del livello critico dipende dalle dimensioni relative di questi effetti. Nei casi dove le onde di Rossby, comuni nell’atmosfera terrestre, presentano ampiezze notevoli e una bassa dissipazione, è il comportamento non lineare a dominare, influenzando così maggiormente lo spessore e la dinamica del livello critico.
Le equazioni completamente non lineari stabiliscono che certi valori specifici sono conservati mentre seguono il flusso del fluido, il quale è determinato da un particolare campo. Se lo spessore del livello critico è molto sottile, il flusso può essere semplificato. Si può approssimare considerando sia il flusso base, che varia linearmente con la posizione, sia la componente verticale della velocità del disturbo, che dipende solo dalla posizione orizzontale. Questa combinazione di flussi genera un modello di flusso chiamato “occhi di gatto di Kelvin”, caratterizzato da linee di flusso che formano anelli chiusi vicino al centro.
La dinamica all’interno di questo livello critico non lineare implica che le particelle di fluido siano trasportate lungo queste linee di flusso chiuse, mantenendo costanti alcuni dei loro valori caratteristici. Questo movimento porta a una riconfigurazione del campo associato a questi valori, influenzando così la struttura delle onde al di fuori del livello critico. Inoltre, questa riconfigurazione modifica anche la relazione tra due componenti del campo, influenzando le proprietà del mezzo di assorbire o riflettere onde.
Un diagramma illustra l’evoluzione del campo di vorticità in un tipico livello critico non lineare, mostrando come cambiano le proprietà di assorbimento e riflessione nel tempo. Inizialmente, le componenti del campo sono in opposizione, rendendo il livello critico un assorbitore. Se la dissipazione è elevata, la vorticità rimane bloccata nella sua configurazione iniziale, e il livello critico continua a comportarsi come un assorbitore anche più avanti nel tempo. Se la dissipazione è debole, il riarrangiamento del flusso continua e, dopo un certo periodo, il campo nel centro del livello critico si modifica a tal punto da non mostrare più alcuna correlazione aggregata, comportandosi come un perfetto riflettore. Questo modello suggerisce che il riarrangiamento continui, portando infine a una situazione in cui il livello critico oscilla tra un debole assorbimento e una leggera sovra-riflessione, stabilizzandosi infine in uno stato di riflessione perfetta nel lungo termine.
La dinamica esatta dell’evoluzione di un flusso dipende dalla configurazione specifica del flusso stesso. Tuttavia, è possibile descrivere in modo generale il comportamento di assorbimento e riflessione analizzando il movimento dell’attività ondosa nella direzione verticale. Inizialmente, durante la fase di assorbimento, l’attività delle onde si accumula nel livello critico. Man mano che si procede verso la fase di riflessione, questo accumulo rallenta fino a fermarsi, e nella fase successiva, il livello critico inizia a riemettere parte dell’attività ondosa accumulata. Se il sistema include meccanismi di dissipazione, questi possono bilanciare l’entrata dell’attività ondosa, permettendo al livello critico di mantenere uno stato di assorbimento. Tuttavia, senza dissipazione, il livello critico dovrebbe continuare ad accumulare attività ondosa indefinitamente per mantenere l’assorbimento, il che non è sostenibile a lungo termine. In pratica, lo spessore del livello critico impone un limite massimo alla quantità di attività ondosa che può contenere, e di conseguenza, non è possibile mantenere l’assorbimento indefinitamente. A lungo termine, il comportamento medio si avvicina quindi a una perfetta riflessione.
Un’altra prospettiva considera il movimento come un trasporto di momento. Nella fase di assorbimento, il livello critico esercita una forza negativa sul flusso medio, rallentandolo. Se non ci sono meccanismi di dissipazione, questa forza media nel tempo tende a zero, indicando una riflessione perfetta nel tempo. Al contrario, in presenza di dissipazione, la forza esercitata non è zero e viene bilanciata dai processi dissipativi, come l’ammortamento della vorticità.
Questa interazione tra le onde al di fuori del livello critico e il flusso all’interno del livello critico chiarisce che le onde esterne influenzano direttamente il modello di flusso interno. All’interno del livello critico, però, il flusso altera il campo di vorticità, cambiando così le condizioni al confine del livello critico e influenzando le onde all’esterno. È fondamentale riconoscere che all’interno del livello critico non si verifica una vera propagazione ondosa. La dinamica interna è dominata dall’advezione della vorticità, guidata dal modello di flusso esterno, e non da un’effettiva propagazione delle onde verso il livello critico.
La figura 2 mostra l’evoluzione del campo di vorticità in un livello critico non lineare attraverso tre fasi distinte del comportamento di assorbimento e riflessione delle onde.
- Fase di assorbimento (Panello a): Questa fase è caratterizzata dalle linee di flusso chiuse, rappresentate da curve spesse e punteggiate, che delimitano l’area in esame. All’interno di queste linee, troviamo i contorni di vorticità assoluta indicati da curve spesse e solide. La vorticità relativa delle onde è rappresentata da linee sottili, con i contorni positivi mostrati come linee continue e quelli negativi come tratteggiati. Durante questa fase, la velocità verticale è negativamente correlata con la vorticità delle onde, indicando che zone di alta vorticità relativa coincidono con basse velocità verticali e viceversa.
- Fase di riflessione (Panello b): In questo stadio, la correlazione tra la velocità verticale e la vorticità delle onde si riduce quasi a zero, segnalando una riduzione nel legame diretto tra queste due caratteristiche del flusso. Ciò rappresenta un periodo di transizione in cui il livello critico non amplifica né attenua l’attività delle onde in maniera significativa.
- Fase di sovra-riflessione (Panello c): Nella fase finale, la velocità verticale è positivamente correlata con la vorticità delle onde. Le zone ad alta vorticità delle onde ora si accompagnano a valori elevati di velocità verticale, favorendo un aumento dell’attività ondosa rispetto alla fase precedente.
Ogni panello illustra come il campo di vorticità e la dinamica del flusso evolvono e interagiscono, influenzando significativamente la struttura e il comportamento delle onde nel livello critico. Questo processo evidenzia l’importante ruolo che il livello critico gioca nella modulazione dell’energia ondosa attraverso i diversi stadi di assorbimento e riflessione.
2.4 Rottura delle Onde di Rossby
Il fenomeno osservato nel livello critico non lineare quando δNL è ridotto può essere interpretato come un caso di rottura delle onde di Rossby. Con “rottura” si intende una deformazione forte e irreversibile dei contorni o delle superfici che, nella propagazione ondulatoria normale, sarebbero soggette a variazioni reversibili.
Un esempio comune di rottura delle onde si verifica con le onde superficiali marine. In questo contesto, la dinamica dell’onda è legata alle ondulazioni della superficie oceanica. Le onde possono essere generate in una regione, ad esempio da una tempesta, e viaggiare per lunghe distanze. Durante questa fase di propagazione, la distorsione della superficie marina è presente ma rimane debole e reversibile. Quando le onde raggiungono acque poco profonde vicino alle coste, la distorsione della superficie diventa più intensa e infine complessa e irreversibile, trasformando il flusso in uno stato turbolento tridimensionale.
Nel contesto delle onde di Rossby, la propagazione comporta una distorsione reversibile dei contorni della vorticità potenziale, che nel caso bidimensionale si riferisce alla vorticità assoluta. Nella regione del livello critico, questa distorsione diventa intensa e irreversibile, segnalando una fase di rottura delle onde. Sebbene il flusso in questa regione possa a volte includere forme di turbolenza (come quella quasi-geostrofica o bidimensionale), non è necessario che ciò avvenga per descrivere il comportamento come una rottura.
Proprio come la rottura delle onde superficiali può favorire la formazione di correnti costiere sistematiche, la rottura delle onde di Rossby può esercitare una forza sistematica, influenzando significativamente il flusso e i modelli di circolazione circostanti.
2.5 Implicazioni delle Onde di Rossby per l’Atmosfera
Il livello critico non lineare delle onde di Rossby, come precedentemente descritto, evidenzia una chiara distinzione tra la regione estesa esterna al livello critico, dove la dinamica è di tipo ondulatorio, e il livello critico stesso, molto più sottile, dove prevale un intenso riarrangiamento advettivo del campo di vorticità potenziale o assoluta, noto come rottura delle onde. Nell’atmosfera terrestre, dove le ampiezze delle onde sono particolarmente elevate, la stima formale dello spessore del livello critico non lineare, indicato con δNL, è comparabile con le altre scale dimensionali del sistema. Questo rende le equazioni matematiche semplificate meno precise. Nonostante ciò, osservazioni e modelli numerici confermano l’esistenza simultanea di regioni di propagazione delle onde e regioni di rottura delle onde.
Ci sono diversi esempi significativi di questo fenomeno. Il primo esempio si verifica nella stratosfera invernale, dove le onde di Rossby su scala planetaria si elevano dalla troposfera, alterano e spostano il vortice polare notturno e si rompono nella cosiddetta ‘zona surf’ stratosferica. Questa zona, che si estende su vaste aree delle medie latitudini e dei subtropici, vede un’intensa mescolanza di vorticità potenziale. Questo processo genera deboli gradienti su larga scala all’interno della zona surf e gradienti più marcanti ai suoi confini verso il polo, al bordo del vortice polare, che funge da guida d’onda per la propagazione verticale delle onde di Rossby.
Un secondo esempio si trova nella troposfera superiore e nella stratosfera inferiore, dove le eddies barocliniche su scala sinottica distorcono il getto subtropicale, creando regioni di rottura delle onde ai lati polare ed equatoriale del getto. Anche in questo caso, la dinamica influenza i gradienti di vorticità potenziale, stabilendo una guida d’onda per le onde di Rossby della troposfera.
Questi casi illustrano come la teoria del livello critico non lineare fornisca indicazioni quantitative sull’interazione tra diverse regioni atmosferiche. Le aree dove avviene la rottura delle onde possono assorbire, riflettere o emettere attività ondosa, influenzando sistematicamente il flusso in queste regioni.
Negli ultimi dieci anni, le teorie sul livello critico delle onde di Rossby sono state applicate anche allo studio della dinamica degli uragani. Ad esempio, è stato esplorato come le perturbazioni delle onde di Rossby non assialsimmetriche possano intensificare un uragano attraverso la loro propagazione e dissipazione in un livello critico. Inoltre, il livello critico non lineare di un’onda di Rossby subtropicale è stato considerato come un luogo prediletto per lo sviluppo dei vortici degli uragani, con una fase di sviluppo che coinvolge la co-propagazione dell’onda preesistente e del vortice in crescita.
3. Strati Critici delle Onde di Gravità Interne 3.1 Descrizione
Gli strati critici emergono come un fenomeno comune nei problemi di propagazione delle onde in un fluido, e un caso di rilievo per l’atmosfera è rappresentato dalle onde di gravità interne. Queste differiscono significativamente dalle onde di Rossby per alcuni aspetti chiave. Le onde di gravità interne si propagano su uno stato di fondo caratterizzato da una stratificazione stabile, con una frequenza di galleggiamento specifica per ogni quota e un flusso orizzontale che varia con l’altezza.
Il modello tipico che descrive questo tipo di onde assume che il flusso sia incomprimibile, una semplificazione che non è sempre applicabile nelle onde di gravità atmosferiche ma che è utile per illustrare alcuni concetti importanti che rimangono validi anche quando si considerano casi compressibili. Secondo questo modello, l’equazione che governa la propagazione delle onde in questa configurazione mostra una somiglianza con quella usata per le onde di Rossby, determinando la stabilità dei flussi di taglio stratificati per densità o la struttura delle onde che si propagano su questi flussi.
La presenza di una singolarità, definita come il punto in cui la velocità del flusso uguaglia la velocità di fase dell’onda, si manifesta attraverso un cambiamento marcato nel comportamento delle soluzioni dell’equazione che descrive le onde. In questo contesto, il comportamento delle soluzioni vicino alla singolarità è molto diverso da quello osservato nelle onde di Rossby. In particolare, se il flusso è stabile secondo specifici criteri di stabilità, la soluzione dell’equazione mostra che le oscillazioni nella variabile dell’altezza diventano rapidamente più frequenti man mano che si avvicina alla singolarità, fino a diventare infinitamente frequenti proprio in corrispondenza della singolarità. Questo comportamento implica che ci sono infinite oscillazioni prima di raggiungere questo punto critico.
Le oscillazioni osservate nelle onde sono il risultato di una riduzione rapida della lunghezza d’onda verticale man mano che l’onda si avvicina alla linea critica, un fenomeno influenzato dall’inclinazione causata dal taglio del vento. Un simile restringimento della lunghezza d’onda si verifica anche nelle onde di Rossby, con la differenza sostanziale che, in quel caso, il numero di oscillazioni rimane finito prima di raggiungere la linea critica. Questa differenza è significativa e deriva dal fatto che, nelle onde di gravità interna, la riduzione della lunghezza d’onda implica una diminuzione più marcata della velocità di gruppo, ovvero la velocità con cui si muovono i pacchetti d’onda. Questa caratteristica rende il concetto di velocità di gruppo molto più rilevante per le onde di gravità interna rispetto alle onde di Rossby.
La singolarità associata alla linea critica può essere superata attraverso processi di dissipazione o attraverso effetti non lineari, a seconda dell’intensità relativa di questi due fenomeni. In alcuni casi, l’onda può gradualmente dissiparsi. Questo può avvenire nonostante la debolezza apparente dei processi dissipativi, poiché il rallentamento della velocità di gruppo vicino alla linea critica fornisce un tempo infinitamente lungo per l’azione della dissipazione. Di fatto, l’onda si dissipa prima di arrivare effettivamente alla linea critica. In tale scenario, lo spessore dello strato critico dissipativo è definito dalla distanza alla quale avviene la dissipazione dalla linea critica, e lo strato può essere interpretato come un assorbitore di onde.
Se, tuttavia, le ampiezze delle onde sono considerevolmente grandi rispetto ai meccanismi dissipativi, gli effetti non lineari nelle equazioni possono diventare predominanti ancor prima che la dissipazione abbia luogo. In questo caso, la distanza dalla linea critica definisce lo spessore dello strato critico non lineare, che diventa significativo prima ancora di raggiungere la linea critica.In questo contesto, la situazione è più complessa rispetto a quella delle onde di Rossby. Non è possibile, per esempio, affermare che la componente della velocità nella direzione verticale z (analoga alla v₀ delle onde di Rossby) rimanga costante attraverso lo strato critico non lineare. In altre parole, questa componente non è indipendente dall’altezza z all’interno dello strato critico. Le equazioni che descrivono lo strato critico non lineare sono, di fatto, le equazioni dinamiche governative non lineari complete, sebbene leggermente semplificate a causa della ridotta estensione dello strato nella direzione z. La dinamica di questo strato critico presenta quindi una complessa interazione tra propagazione dell’onda e fenomeni non lineari.
Inoltre, quando la non linearità assume un ruolo significativo, è quasi inevitabile che emerga il potenziale per instabilità gravitazionale, portando, nella realtà, a un disfacimento del flusso in una turbolenza complessa e tridimensionale. Per queste ragioni, sebbene siano stati condotti alcuni studi asintotici formali sugli strati critici delle onde di gravità interna non lineari, i comportamenti più rilevanti per l’atmosfera reale sono meglio esaminati attraverso simulazioni numeriche tridimensionali complete. Queste simulazioni mostrano che effetti di riflessione non lineari sono possibili, specialmente quando il numero di Richardson locale non è eccessivamente alto.
3.2 Implicazioni delle Onde di Gravità Interna per l’Atmosfera
La dissipazione e la rottura delle onde di gravità interne, che avviene quando queste si avvicinano alle linee critiche, sono processi potenzialmente cruciali per l’atmosfera perché possono generare forze indotte dalle onde. Un altro fattore che contribuisce alla rottura delle onde è la diminuzione della densità con l’aumento dell’altitudine, che causa un incremento nelle ampiezze delle onde. Nonostante ciò, la rottura vicino alle linee critiche ha un ruolo predominante. Un esempio notevole di questo fenomeno si verifica nella stratosfera equatoriale, dove l’oscillazione quasi-biennale dipende dalla filtrazione selettiva, dalla rottura e dalla dissipazione delle onde a seconda della loro velocità di fase orizzontale, influenzate dal flusso di fondo atmosferico. Si presume che queste onde siano generate principalmente dalla convezione nella troposfera tropicale e si manifestino su diverse scale. Le osservazioni confermano che esiste una relazione diretta tra la velocità di fase delle onde osservate a una certa quota e il flusso di fondo negli strati inferiori attraverso i quali le onde si sono propagate.
Il comportamento delle linee e degli strati critici è essenziale per le parametrizzazioni delle onde di gravità, che hanno lo scopo di rappresentare gli effetti, principalmente le forze indotte dalle onde, delle onde di gravità su piccola scala nei modelli numerici su scala globale. Questa parametrizzazione è fondamentale per simulazioni affidabili della stratosfera e della mesosfera. Una semplice forma di parametrizzazione potrebbe prevedere che, in uno spettro di onde di gravità che si propagano verso l’alto, ogni componente dello spettro si dissolva alla sua linea critica, generando così una forza in quel punto. In pratica, si applica un criterio di rottura per assicurare che le onde si interrompano prima di raggiungere la linea critica. La maggior parte delle parametrizzazioni attuali presuppone un assorbimento all’interno dello strato critico. Considerare anche la riflessione dello strato critico complicherebbe notevolmente il problema della parametrizzazione.
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